Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
перестановкой х, у, 2. Как легко показать, перестановочные соотношения
(13) определяют матрицы у0, Ух, Y;/" Уг с точностью до постоянного
множителя. В результате получаем
(/> >п | у* - iyy | / + 1, т 1) - - ^ VU + т 1) (/ + т + 2),
(/, т | y, + iyy\ У + 1, m - 1) = ~ У (j - m + 1) (у - т + 2), (14)
(У. tn\yx + iyy\j ~ I, m~l) = ~Y(j + m)(j + т - ,
Остальные компоненты матриц у*, уу, уг равны нулю. Заметим, что эрмитова
форма фу0ф является положительно опре-деленной, как того и требует
физическая интерпретация,
(Yo. ах) = 0, (Yo. Ьх) = tyx>
(Y.i> (r)х) == (Y*> & у) == lYz>
(Y*> аг) = - 1Уу> (Ух> bx) = J-Yo
(Y*. by) = 0, (ух, Ьг) = О,
(13)
Yo = У + ту '
(у, т\ух - iyy\j ~ 1, т 1) = -1~У(/ - т) (у -• т - 1) ,
(/. m I Yz I/ + 1, т) = у Y(j + т + 1) (у - т + 1) ,
(У. гп | уг |/ - 1, т) = - ~ Y(j + т) (у - т) .
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ЧАСТИЦЫ С УГЛОВЫМ МОМЕНТОМ 245
Теперь мы хотим перейти от уравнений, записанных в форме (15), к
уравнениям вида (1). Для этого достаточно положить
Фу. т = (у' + 7г) Ф/.т. (!5)
так как при этом форма, связанная с у0, приводится к еди-
ничной. Таким образом, мы получаем уравнения в желаемой форме:
[-у- + (а, р) - Р"гс] ф = О, (16)
в которых р = (у + V2)-1 > а отличные от нуля компоненты а*, ау, аг
определяются выражениями
(17)
/ • I • I : I 1 I 1 s * -1 f (i + т + 1) (/'
+ т + 2)
(j, т\ах mjy+l, т+1) 2 у (у _|_ i/2) (/ _|_ з/2)
/• I • 1 • 1 I is * -1 / (У- т) (/' - т - 1)
(l, т \ax-iay\ 1 1, т + 1) - 2 у (у -1/2) (у + i/2)
'
ij, m\a, + ia,\i+l, m-l)=±yf (1~"Д1)>" + '"/2> '
и, т1а, + ш,и-и т-1)=±-/Л+Щ+^?,
/¦ I I.- I 1 \ t т f (i + т + 1) O' - т + 1)
(У, т [аг[у + 1, т) - у у (у +'/2) (у + 3/2)
(/ т 1а I/-1 т) = ---1/ (/ + от) ('~ОТГ 1У, т 1 "з 1У 1, ту 2 |/ (/+
i/2) (/ +1/2) •
Все решения уравнения (16), отвечающие плоской волне с положительной
массой, могут быть найдены путем релятивистского преобразования из волны
с нулевым импульсом. Для этой волны энергия равна
W0 = 1f(18)
Таким образом, для полуцелых у имеем состояния, отвечающие значениям
массы т, 1/2т, 7зт а для целых у: 2т,
2/3т, 2!ът, ...
Следует отметить, что частицы с различной массой .имеют разные внутренние
угловые моменты, причем внутренний угловой момент имеет определенное
значение только в системе, в которой частица покоится.
Если принять, что совокупность состояний, отвечающих массе покоя m/(s
'/2), реализуется в природе, причем все остальные состояния не имеют
смысла, то получим инвариантную теорию
246
Э. МАЙОРАНА
частицы с угловым моментом s, которую можно считать удовлетворительной в
отсутствие поля. Без труда можно проверить, что при медленном движении
для частицы с внутренним моментом s заметно отличается от нуля только
функция подчиняющаяся уравнению Шредингера с массой М = m/(s + Vz). в то
время как функции и т порядка v/c, функции %+2tm
и Ф5_2,т порядка v2/c2 и т.д.
Так мы получаем только два волновых уравнения, одно из которых пригодно
для описания частицы с нецелым угловым моментом, а другое - для частицы с
нулевым или целым моментом.
Кроме состояний, имеющих положительные значения массы, имеются и другие,
в которых энергия связана с импульсом соотношением вида
и которые существуют не для всех положительных k, а только при p^kc. Эти
состояния можно рассматривать как состояния с мнимой массой ik.
Функции "спина", отвечающие плоской волне с р ф 0, имеют особенно простой
вид в случае частицы без внутреннего момента, если рх = ру = 0, рг = р.
При этом находим с точностью до нормировочного множителя
и М = 2т - масса покоя.
3. Рассмотрим теперь кратко введение в уравнение (16)
электромагнитного поля.
Переход от уравнений без поля к уравнениям с внешним полем производится
наиболее простым образом путем замены W и р на W - еср, р - (е/с) А, где
е - заряд частицы, а ф и А - скалярный и векторный потенциалы. Но имеется
и другая возможность. Можно, например, добавить инвариантные члены,
аналогичные тем, которые были введены Паули1) в теории магнитного
нейтрона, и пропорциональные напряженности поля вместо электромагнитных
потенциалов, так чтобы не нарушить инвариантность уравнений, связанную с
неопределенностью потенциалов.
W=± Vс2р2 - k2c4
(19)
(20)
где
/ М2с2 + р2 Мс
(21)
>) См. Oppenheimer J. R., Pbys. Rev., 41, 763 (1932).
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ЧАСТИЦЫ С УГЛОВЫМ МОМЕНТОМ
Такой прием позволяет приписать частице с отличным от нуля угловым
моментом любой магнитный момент. В случае электрона, например,
посредством простой подстановки W, р -* W - eqp, р - (е/с) А получается
магнитный момент + 1/2ц0 вместо - р0.
Если захотеть привести нашу теорию к теории электронов, которая
согласуется наилучшим образом с экспериментальными данными, следует
изменить магнитный момент дополнительными членами. Но полученная таким
образом теория электронов является бесполезным дублированием теории
Дирака, которая остается более предпочтительной благодаря своей простоте
и согласию с экспериментом. Преимуществом настоящей теории, напротив,
