Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
0
Рассмотрим эти интегралы:
( л при /V/г = 0;
Л = ФЗа(№р)|?=|0 при Ыкф().
J2 = (4ф/2) [sa (Nk — 2) ф + sa (Nk + 2) ф] |* = (лг2(л/2) при А//г = 2;
0 при Nk=h 2;
222
Я/2
J3 = 2а'„ j У1 — (х0 sin ф)2 cos ф cos Nkф cU\ -f-
U
Jt
-f- 2л:0 И/1 — (x0 sin ф)2 cos ф cos N fop ^ф.
Л/2
Во втором слагаемом интеграла J3 сделаем замену переменной Ф =зт — 0, тогда найдем
о
2*о f У1 — (*0 sin G)2 (— 1) cos 0 [cos Nk n cos NkQ -f-
я/2
-j- sin Nkn sin NkQ] (— 1) dO.
Анализ полученного выражения показывает:
sin Nkn == 0 при любом целом Nk;
-j- 1 при Nk четном;
— 1 при Nk нечетном;
- 1 при Nk четном;
-(-1 при Nk нечетном.
cos Nkn =
(— 1) cos Nkn Следовательно,
я/2
J3 = 2х0 | У1 — (x0 sin ф)2 cos ф cos Nkф dip +
0
я/2
-f (=5= 1) 2*0 I У1 — (x0 sin ф)2 COS ф COS Nkф d(p,
0
причем J3 = 0 при Nk, равном 0; 2; 4; 6;
я/2
•/3 = 4*с J l/1 — (a'o sin ф)2 cos ф cos Nk<p dtp о
при Nk, равном 1; 3; 5; 7...
Так как У 1 —x = 1 — х/2 — x2/8 — х3/16 —
то
где
•/з/ 4л"о — J3 — {J з ~г J э ••¦)>
я/2
Уз = j cos ф cos Nkф dcp; о
я/2
= *0 J sin2 ф cos ф cos Nkф ^ф;
223
ИГ 4
J3 — J sin ф cos ф cos Nky скр; о
6 л/2
JgV — J sin0 ф cos ф cos Nkq (1ц>.
о
Можно найти первый интеграл
так как Nk — нечетное, то Nk -j- 1 — четное, (Nk -f 1)/2 = т — целое, следовательно, sa [(Nk -f 1) л/2] = sa mn =0 и
/3=4-sa(/V6-l)4 =
-j- при Nk = 1; 0 при Nk Ф 1.
4 ......' 2
Вычислим второй интеграл
Л = -f-я [sa(Mfe- l)-5--sa(Mi-3)-|--
— sa (Nk + 3)-f- + sa (Nk + 1) -=-],
так как
(Nk + 1) я/2 = тл; sa (Nk -j- 1) л/2 = 0;
(Nk + 3) л/2 = тл; sa (Nk + 3)_л/2 = 0,
следовательно,
4 = ^^-[sa(JVA- 1) — sa (Nk-3)-^-j =
| xo ПРИ Nk= 1;
= |—*o~^- ПРИ Nk = 3;
j 0 при Nk = 5\ 7; 9...
При вычисленииТтретьего интеграла будем иметь в виду, что sa (Nk +1,3, 5) л/2 = 0, тогда найдем
l)f — 3 Tsa (Nk- -3)f + ^Sa(^-5)f]-
4 128 л при Nk = -1;
34 256 Л при Nk = = 3;
4 256 л при Nk = = 5;
0 при Nk-- = 7; 9 11;...
224
I
Для четвертого интеграла аналогичным путем получим
= 2М8 П [5sa (Nk ~ ‘) Т - 9 53 (Nk ~ 3) Т +
+ 5sa (Nk - 5) \ - sa (Nk - 7) ^-1 =
5xg
2048
94
2048
2048
2048
0
Л при Nk= 1;
л при Nk = 3;
л при Nk = 5\
л при 11
при /V& = 9; 11; 13;
Следовательно,
0
2
*о
32
М.
512
34
9 11 КА Л 512 11 -Ь'
9*0
64
Я
64
5*о
512
Я —
*0 I
¦512 Я +
I
О
при Nk = 0; 2; 4; 6;...;
при Nk = 1;
при Nk = 3;
при Nk = 5,
при /V& = 7;
при Nk = 9; 11; 13;...
Так как аоА, = (1/я) (/х + /2 + *^з). т0 ПРИ *0 < 1 в результате вычислений соответствующих интегралов можно найти следующие значения aok при различных Nk:
Nk .................... 1 2 3
o0k.................... х0—х%/2 xg/2 *з/2
4; 5; 6; 7; 8; 9; . . . О
Случай Nk = 0 не имеет смысла, так как k Ф 0, а при /V = О модуляция отсутствует.
Амплитуда первой гармоники модулированного потока излучения будет равна
Ах = тр (2/jr) а01.
В табл. 8 приведены значения коэффициента a'oi = (я/2) a0i Аля различных х0 и N. Пользуясь этим коэффициентом, можно рассчитать амплитуду первой гармоники, которая при тр = 1 равна
А\ = (4/л2) Ooi 0,4я6ь
о
° м. М. Мирошников
225
В частности, при тр = 1 и JV =1
Л1 = (2/л)х0[1-(4/2)],
если х0 = 1, Ах = 1/я ^ 0,32.
Расхождения в величине амплитуды первой гармоники, полу, ченные при различных способах вычисления, объясняются тем, что случай х0 = 1 является граничным, и ему свойственны наибольшие ошибки, связанные с принятыми в расчетах приближениями.
Между тем рассчитать точные значения амплитуды первой гармоники при х0 = 1 не представляет особенного труда, так как в общем случае
«01= I тд(ф) COS Nq>dq>,
q>i
где при х0 > 1
(ф) =
= (2/я) х0 cos фУ 1 — (x0 sin ф)2» при х0 < 1
тд (ф) = (1/2я) jxg cos 2ф + 1 -J- 2лг0 cos ф У1 — (х0 sin ф)2|, при х0 = 1
Тд (ф) = (2/я) cos2 ф.
Так как в этом случае фх = —я/2, ф2 = -]~я/2, то можно найти
+я/2
tf0i =— j cos2 ф cos Nq> dcp.
—я/2
Вычисление полученного интеграла приводит к следующему выражению:
а01 = sa (Nn/2) -f 0,5 sa [(TV — 2) я/2] -f + 0,5 sa [(N -f 2)я/2].
Сопоставим все полученные значения амплитуды первой гармоники для случая х0 = 1 (табл. 9)
Наиболее близки к точному значению приближения ряда при х0 > I. Существенные расхождения получаются для приближения ряда при х0 < 1 для N = 1 и N = 3.
226
Значения коэффициента а01
N
х0 1 2 3 4; 5;...
1,0 0,80 0,80 0,80 0
0,9 0,85 0,63 0,56 0
0,8 0,85 0,50 0,41 0
0,7 0,82 0,38 0,27 0
0,6 0,77 0,28 0,17 0
0,5 0,69 0,19 0,097 0
0,4 0,58 0,12 0,050 0
0,3 0,46 0,071 0,021 0
0,2 0,31 0,031 0,0063 0
0,1 0,157 0,0078 0,00078 0
0 0 0 0 0
Кривые коэффициентов aoi, вычисленных по приближенным формулам, представлены на рис. 192. Штриховой линией показана аппроксимация тех участков соответствующих кривых, где имеют место максимальные расхождения различных приближений. Для лг0 < 1 и дг > 3 коэффициент aoi = О для четных N—точно, для нечетных — приближенно.
В заключение рассмотрим причины расхождения вычисленных разными методами значений отношения (Р(А)о* ПРИ которых амплитуда первой гармоники модулированного сигнала равна нулю.
