Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 339. Построение импульсной функции оптимального фильтра
562
четырехполюсника представляет собой свертку сигнала на входе и импульсной функции. Пусть обобщенный сигнал, вырабатываемый безынерционным приемником, равен
и0 (0 = иоУ (О-
Тогда соответствующий ему электрический сигнал, действующий на входе схемы рис. 335, б,
-Ьвкл. х. х^О (0 " ^вкл. х. х^07 (О»
где 5BkJ,#x>x — крутизна цепи включения приемника в режиме холостого хода,
f оо
U0(*) = j 0,(flex'd/;
— оо
оо
?.„(0= } ?-Дйе'адЧ;
--ОО
?_.(0 = &о(/)5.кл.,.«;
^0 = 50Ф0.
Так как
то
т. е.
где
5,Ф 0 ^О^вкл. х. х»
?~0 (/) = OoSnpoY (О*
?^o(0 = ?~oY(0.
?~0 —Фо5Про-
Комплексный коэффициент передачи рассматриваемой схемы равен
K(f) = kmJc(f),
причем при использовании оптимального фильтра
к if) — ^opt (/)•
Следовательно, если импульсная функция оптимального фильтра равна /Copt (t), то четырехполюсник с коэффициентом передачи /Copt (/) характеризуется импульсной функцией
Кор, (О = тЧ0о-<).
*ВХ
Соответственно,
Кое, (<-<') = т2- Т (<о -< + <') = -г 7 [«' - « - «].
‘ВХ *вх
563
тогда
-j-oo
«с opt (0 -= j Е~о (П Kopt {t — t’) dt' =
—oo
E K~
= -f-2- f yV)ylt'-v-шdt'.
*i3X J
—oo
Можно легко проверить правильность полученного результата, так как при t = t0 сигнал достигает максимума, величина которого нам известна Между тем, из последнего выражения следует
«c„Pt« = V° f f(f)df,
lBX J
—oo
но при белом шуме
Ио — -у— f Y2 (О
‘вх •
—ос
т. е.
^с. opt (/о) == Е~0Ко\1о Фо^пр oKojro»
что совпадает с ранее полученными выражениями для ис upt max.
Далее известно, что для детерминированного сигнала единичной амплитуды и конечной длительности у (t) автокорреляционная функция определяется выражением:
4 оо
'Ф(т)= j уЮуУ - т)dt’.
— оо
Эта функция характеризует степень связи сигнала с его копией, сдвинутой по оси времени на величину т. При т = 0 функция автокорреляции достигает максимума, равного полной энергии сигнала
+°°
Ч>(0)= | t(t')df.
— оо
Возвращаясь к выражению для сигнала uc(t), можно найти
Е К.
If с. opt (t) = - -7 -° Я|> it — *о).
‘вх
где \]: (i — t0) — автокорреляционная функция входного сигнала единичной амплитуды для времени задержки т = t — t0-
Таким образом, сигнал на выходе оптимальной системы с точностью до постоянного множителя совпадает с автокорреляцион-
564
ной функцией входного сигнала. Его можно всегда построить по заданной автокорреляционной функции (т) для т = t — tQ. Естественно, что при т = 0, т. е. t = ?0> когда
-1-00
Ч>(0) = j f(i')dt'=tnV\,
- ОО
получаем максимальную величину сигнала
«с. optrnax == «с. opt (to) = (E~0Ko/tbx) =
= Е^0 /СоМо = Фо5пр оКоИо*
Относительно импульсной функции оптимального фильтра необходимо сделать еще ряд замечаний, относящихся к общим свойствам электрических цепей.
Выражение для вычисления сигнала на выходе четырехполюсника через его импульсную функцию
—|— оо
Uc(t)= J ?~0(/') Кс (t — tr) dtr
—оо
может быть изменено с учетом условия физической осуществимости, в соответствии с которым Кс (t — tr) = 0 при tr > U так как отклик не может опережать воздействия. Следовательно, верхний предел интегрирования можно заменить на t. Нижний предел интегрирования также может быть выбран конечным, если сигнал при достаточно большом отрицательном аргументе обращается в нуль. Обычно предполагается, что при аргументе t—Т, где Т — длительность исследуемой реализации, сигнал пренебрежимо мал.
Следовательно,
~t t
мс(0= J E^(t')K'(t-t')dt' = J
— oo t— T
Кроме того, часто производится замена переменных G = t — Г, тогда
т
М<) = -8) tfc(e)de.
О
Полученное выражение называется интегралом Дюамеля. Входящая в него импульсная функция Кс (В) связана с комплексным коэффициентом передачи цепи Кс (/) преобразованиями Фурье:
+ ос —J- оо
*с(/)= j Кс(8)б-'г"*%ГО; Кс (8) = j Кс (f) v’2"10 df.
--СО -ОО
565
Например, для апериодического /^С-звена можно найти
(/)=!/( 14 i2nfRC);
ЛГ (0) = [1/(7?С)] е-в/яс
Если сигнал задавать в виде E~„(t — 0) = Е~0у (t — 0), то импульсная функция оптимального фильтра
/Copt (в) = (#о/*Вх)Т(*о — в)-
§ 4. СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ШИЛЬТРА
Математическое выражение для коэффициента передачи оптимального фильтра может быть настолько сложным, что высказать даже ориентировочные предположения о схеме фильтра крайне затруднительно. В общем виде определить схему фильтра по заданному уравнению невозможно.
Тем не менее, может встретиться ограниченное число случаев, когда выражение для коэффициента передачи оптимального фильтра распадается на ряд множителей простого типа, и фильтр синтезируется как последовательное соединение четырехполюсников, реализующих каждый множитель.
Существует два главных способа осуществления оптимальных фильтров: 1) создание линейного фильтра с сосредоточенными постоянными; 2) реализация оптимального фильтра в виде коррелометра.
Рассмотрим эти способы.
4.1. Оптимальный линейный фильтр с сосредоточенными постоянными
Пусть сигнал ?~0 (/) = Е~0у (t) представляет собой прямоугольный импульс, т. е.
I! при |/|<tBX/2,
