Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Форма относительной амплитудно-частотной характеристики представлена на рис. 337 (кривая /), кроме того, необходимые
сведения об этой характеристике могут быть получены из графиков на рис. 280—282. Легко убедиться, что относительная амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра соответствует спектру сигнала, т. е. она лишь назначительно искажает его форму, так как уменьшение коэффициента передачи фильтра имеет место Jot^f для тех спектральных составляющих сигнала, относительный вклад которых меньше, вплоть до того, что коэффициент передачи равен нулю только на тех частотах, на которых сигнал отсутствует. Ё то же время она существенно ослабляет шум, спектр которого на выходе фильтра соответствует спектру входного сигнала, т. е. дисперсия шума резко уменьшается, так как на входе дисперсия белого шума бесконечно велика.
Для окрашенного {гиперболического) шума s (f) = f0/\ / I и амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра равна
/Copt (/) = Яо1Ж/)1//о.
0.42 / I 1.0 1,33 0.76 р,84
Рис. 337. Амплитудно-частотные характеристики оптимального фильтра для ко-синус-квадратного импульса на фоне белого (/) и гиперболического (2) шума
556
В частности, для косинус-квадратного импульса имеем
Ко | Sin nftaK I
* opt if) =
Ko_
fo
j: Sin {nftBX)
(л^х) 0 - Kx) Обозначим nftBx = x, тогда
nfo^Bx i {ft bx)'“
К (y\ - K° lSin **
Л°Р{ W nf0tBX 1 - (*/я)2 •
Найдем x = x0, при котором величина /(opt (*) максимальна. Из выражения
a/Copt (х) _ /Со Г cosx(l —-х2/л2) -J- 2а: Sin л:
]-
о
dx я/о^вх L (1 — х2/я2)2
можно найти
cos2 *0 - 4х5/[(я2 - X2)4 + 44],
отсюда
х0 = (5/6) я 2,62, или fJBX ^0,83. Следовательно,
[Kopi (х)]тах = К0pt (х0) = 1,636K0/{nfQtBX)\
h /у\ _ Kopt (*) __ °>61 | Sin JC i
optM KoptUo) [1 — (лг/зх)2]
Форма относительной амплитудно-частотной характеристики представлена на рис. 337 (кривая 2). В этом случае амплитудно-частотная характеристика «вынуждена» уменьшать спектральную плотность сигнала там, где она существенна — на низких частотах, а при f — 0 коэффициент передачи фильтра равен нулю. Это связано с необходимостью наилучшим образом подавить шум, так как при /—>0 его спектральная плотность е (f)—*оо. Следовательно, и в этом случае главная «обязанность» амплитудно-частотной характеристики оптимального фильтра — уменьшение уровня шума.
1.3. фазо-частотная или фазовая характеристика
Представим безразмерный спектр сигнала в виде
'У if) = l V (/) |е/фтш,
где | Y (/) I — амплитудно-частотная характеристика спектра сигнала; <pv (/) — фазовая характеристика спектра сигнала.
Комплексный коэффициент передачи оптимального фильтра, в свою очередь, равен
/Сор. (/) = 1Лор1 (/) | е'ф*(/),
557
где | Kept (/) | — амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра; (/) — фазовая характеристика оптимального фильтра.
Так как
то, учитывая, что
у* if) = I у (/) Iе 7Фг(/),
можно найти
Лор, (ft = /Со [] V (ft 1/8 (ft] е-' 1,11.
Следовательно, фазовая характеристика оптимального фильтра может быть представлена в виде
Фа (/) = — <PV if) — 2я/*0.
Анализ полученного выражения показывает, что первое слагаемое его правой части —cpv (/) осуществляет компенсацию начальных фаз в спектре сигнала, т. е. каждая компонента спектра сигнала, имеющая фазу -j-<pv (/), компенсируется фильтром. Если бы не второе слагаемое, то сложение всех составляющих спектра с нулевыми начальными фазами должно было привести к образованию пика сигнала в момент t — 0, поскольку именно при t — О и нулевых начальных фазах совпадают амплитуды всех гармонических составляющих спектра. Однако второе слагаемое —2nft0 сдвигает фазы гармоник пропорционально их частоте так, что амплитуды всех гармоник совпадут в момент времени t = t0, где и образуется пик сигнала. Фазовые характеристики спектра входного сигнала, фильтра и спектра выходного сигнала показаны на рис. 338.
Фазовая характеристика спектра выходного сигнала равна
Ф* вых if) = Ф7 if) + Фа (!) = ФТ (/) - Фт if) ~ о = — 2зх/*о-
Таким образом, если амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра в основном подавляет шум и лишь незначительно изменяет форму сигнала, то его фазовая характеристика совершенно не оказывает влияния на дисперсию выходного шума, в силу случайного характера фаз отдельных составляющих шума, но обеспечивает максимизацию сигнала путем такого сдвига фаз гармоник, что это обеспечивает появление пика сигнала в момент времени t = t0.
Рис. 338. Фазовые характеристики оптимального фильтра tp*, (/) и спектров сигнала на его входе fpY (/) и выходе <pYnb]x (/)
558
§ 2. СИГНАЛ И ШУМ НА ВЫХОДЕ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
Найдем выражения для сигнала и шума на выходе прибора с оптимальным фильтром, пользуясь представлениями о комплексном коэффициенте передачи, амплитудно-частотной и фазовой характеристиках фильтра.
Сигнал на выходе равен
4-00
ис (0 = j
•—ОО
Спектр сигнала
ЫС (/) = о (/) /Сс (/) - ?-0 (/) /(max К (/),
где
?"-0 (/) == -5Пр оФо/ вх^ (/)•
При использовании оптимального фильтра
т. е.
«с. ор, (/) = ФАА,Р Ау (/) е“'2л"°,
