Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
du2.,,
е (ft—af-.
Очевидно, что эта величина [в нормализованном виде, т. е. Е (/)/«LJ определяет плотность вероятности случайной величины f — частоты шума, т. е. вероятность того, что f лежит в диапазоне частот от / до / -f df. Чем больше Е (/), т. е. чем большая дисперсия dum приходится на элементарный интервал частот от f до f -f--f df, тем больше вероятность наличия данной частоты f в общем шумовом спектре.
Следовательно, плотность вероятности случайной частоты шума равна
Ч, (ft = Е (/)/ ul,
а дисперсия
оо оо
j /2Е (/) df j /2Е (/) df
_/г О О
df =-------------= —-----------•
“ш Je фл;
О
Так как относительная спектральная плотность шума
8 (/) = Е (/)/Е (f0),
СС 00
= jpMl
552
Например, если белый шум, для которого е (/) = 1, действует в ограниченной полосе частот от 0 до /ь, то
'в If в
n,-jM
l-VTL-W’
что примерно равно средней частоте полосы пропускания /0=-/в/2.
Так как среднее время между двумя Еыбросами шума
Т = UN (у) = l/(Le-^,/2) = &t/2Jfm>
то
y=Y21п^шЛ-
Н. С. Шестов определяет выброс шума как участок кривой и (t), на котором она идет выше уровня и0. При таком определении для выброса характерно наличие одного пересечения уровня и0 с положительным наклоном кривой (начало выброса) и одного — с отрицательным наклоном кривой (конец выброса). Это определение устраняет неточность, возможную при определении выброса как максимума кривой при условии, что этот максимум превысил порог ы0, так как выброс может иметь несколько максимумов (рис. 336). В этом случае им получено, однако, выражение для у, точно совпадающее с приведенным выше, в котором fh имеет смысл среднего квадрата частоты выходного процесса.
Далее необходимо установить связь между Т и произвольным, заранее заданным временем, в течение которого не допускается выбросов шума за уровень и0, временем ложной тревоги Тл.т.
Среднее число выбросов шума в течение произвольного времени ТЛгГ равно
n = T„,rN (у) = Тл#т/Т,
Рис. 336. Определение выброса шума по Н. С. Шестову
Так как за уровнем и() (или у= ujum) появляются лишь редкие выбросы шума, то их распределение описывается законом редких явлений — законом Пуассона. Поэтому вероятность появления к выбросов шума за заданный уровень равна
P(k)^[(n)kfk\ 1е-\
Когда k - 0, т. е. пет ни одного выброса,
р (0) = еЧ П = _ In Р (0).
Вероятность появления хотя бы одного выброса шума — вероятность ложний тревоги, в свою очередь,
Рп.г = 1 — Р (0),
следовател ьно,
п = — In (1 — Рл.т),
Т = ТЯш > - Гл. т/— In (1 - Ял.т)*
Окончательно получим
Т п. т
</=|21n[LT]]V* = 2 In
1 П (1 Рд, т)
X
X ( J /2е (/) df j е (f) df
1/2
1/2
Например, при Рл т = 0,5 Т = Тл т/ — In (1 — 0,5) = Тл т/1п 2 = = 1,44 ТЯшТ. Если Тл,‘г = 15 ч = 5,4.104 с, а /ш - 2000 Гц, то
у = У 2 In (2000 • 1,44 • 5,4 • 104) = 6,142
Следовательно, необходимое отношение сигнала к шуму для условий предыдущего примера, равно р = 1,3 + у = 1,3 + + 6,142 = 7,44.
Напряжение срабатывания порогового устройства (порог огра-ничения)
Щ = уи ш = 6,142«ш,
}лыш = 7,44 uL
554
Глава 21
ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР, ЕГО СТРУКТУРА И СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ
§ 1. СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНОГО ШИЛЬТРА И ЕГО ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.1. Структура оптимального фильтра
Оптимальным фильтром называют такую линейную систему обнаружения сигнала с полностью известными параметрами, которая осуществляет обнаружение наилучшим образом, т. е. обеспечивает максимум отношения сигнала к шуму на выходе при заданных вероятностях обнаружения и ложной тревоги.
В предыдущей главе было установлено, что для получения 1\1аксимума отношения пика сигнала к среднекьадрашческому значению шума необходимо, чтобы коэффициент
имел максимальное значение ро = Цо, равное
|ц2 = ^ f —1 yff ^—^df.
1 ?(/)/|КПр(/)12
В свою очередь ро — (Ыо, если произведение коэффициентов передачи приемника, входной цепи и усилителя Кс (f) равно некоторой оптимальной величине
которая и определяет структуру оптимального фильтра. Так как амплитудно-частотная характеристика (модуль коэффициента передачи) приемника излучения | Кир (/) | лишь корректирует спектральное распределение шума приемника 8 (f), приводя его к той же точке тракта прибора, в которой определен спектр сигнала у (/), а сам спектр е (/) мы полагаем произвольным, не будет большой ошибки, если в последующих расчетах примем | Кир /) | = = 1, т. е. предположим, что в рабочем диапазоне частот инерционность приемника не имеет значения (2л/тпр 1). Тогда выражения для |li0 и Ropt (/) упрощаются:
—J— оо ^
555
KJf)
Исследуем структуру оптимального фильтра, имея в виду, что Kopt (f) = | Kopt (f) | e,<p*,
где | Kopt (f) I = Kopt (f) = Ko|y* (/) |/8 (/) — амплитудно-частотная (амплитудная) характеристика фильтра; <pk (f) — фазо-частотная (фазовая) характеристика фильтра.
1.2. Амплитудно-частотная характеристика
Для белого шума ? (f) = 1 и амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра равна
Ко* tf) = Ко I **(/)! = Ко 1т</)|.
В частности, для косинус-квадратного импульса имеем
If if\ _ s3 (яДвх) w
°pt U) “ 1 — (/*вх)а °’
Vt (/) ¦= Кор, tf)/K0.
