Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
j cos2(jx/2) t/{tBJ2) при \ t\< tBJ2,
—i 0 при ]*]>/BX/2,
TO
+ oo + ^Bx/2
J y2 (t) dt — | cos4 ~2~ tsxj2 dt.
-* -w2
Так как
Г 3 1 1
cos4 ax dx = -g- x + sin -j- sin 4шг,
можно найти
J COs4-2- /вх/2 =
~'вх/2
И
^ = 7^7 1 v2(0^ = 4
—ш оо
При любой форме импульса для белого шума
2 I
N ---- ^И1
где /ги — коэффициент формы импульса. Для прямоугольного
з
импульса /гипр = 1, для косинус-квадратного к = и т. д. Уравнение дальности при белом шуме
Ls = /Т„
Б48
где jx — отношение сигнала к шуму на выходе оптимальной системы, когда р0 = ^0» а Р — Ц-
Чувствительность для малоразмерного I (Вт*ср-1) и протяженного В (Вт-см-2-ср"1) источников излучения равна J____________________ 4 ц 6 L2
~~K(fo)To <*' VWr* ' в л " 1 1
П D'm(f0) Т0 d06 V2kJBX '
Следовательно, при белом шуме дальность действия и чувствительность прибора зависят от длительности импульса (скорости сканирования).
2. Для гиперболического шума ? (/) = /0/| f | и
+ то
V-l = ? 1 1П IV (/) i2 df.
--CO
Поскольку спектр косинус-квадратного импульса равен у (/) = sa (я//ВА)/[1 - (/fBX)2],
можно найти
..2 _ ^ВХ f I f I sa вх) |2 .? ______ 1 ri
И° /о J I 1-(Двх)2 I ' _ «Vo/вх
где
+с
/у f Sin^X .
J i А' | 11 - (Л.'/л)2]2 йХ'
— оо
х = л|Усх.
Интеграл 3х можно вычислить, разлагая дробь М\х [1 —-
— (х/л)2]2} на простейшие, что и выполнено Н. С. Шестовым
в книге «Выделение оптических сигналов на фоне случайных
помех». Таким образом, можно найти
= 2,2л,
следовательно,
Ио = 2,2я/(я2/0tBX) = 0,7/ysx,
или
Ho — 0,84/ j//o?^.
Уравнение дальности при гиперболическом шуме
^2 _ Л угр <^0 о) 1,18
т «т Г“У/Г
18 М. М. Мирошников 549
Чувствительность для малоразмерного I (Вт-cp и протяженного В (Вт-см-2-ср-1) источников излучения равна
4 р Ь L2
g _ _4_ Ц______________1_ 1
" DUfo) То ‘.'«ft'2 '
Следовательно, при гиперболическом шуме дальность действия и чувствительность прибора не зависят от длительности импульса (скорости сканирования).
3.2. Необходимое отношение сигнала к шуму
В уравнения дальности и чувствительности входит коэффициент р, представляющий собой необходимое отношение максимума сигнала к среднеквадратическому значению шума на выходе усилителя. Для оптимальной системы р принимает максимальное значение, равное р.
Для нормального закона распределения вероятностей эту величину можно выразить через вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги следующим образом.
Вероятность обнаружения сигнала Робп равна вероятности того, что пик сигнала wcmax, сложившись с выбросом шума и, превысит порог срабатывания порогового устройства и0, т. е.
Р<збн ” Р (Me max —Ь ^ ^о)*
Очевидно, что
Р {ис тах “j- U . ¦> Wp) = Р (ll Uq Uc max).
Введем обозначения
z= »1У"Ща = и1иш’ У = иь1иш'
Р ~гпах/^ш» *0 У Р>
тогда
Робн = Р (Z> z0).
Для нормального закона
Р (z > z0) = 0,5 [1 — Ф (?0)1.
Zo
где Ф(г0) = [e~~zi!/2d2 — табулированный интеграл вероят-
ности Лапласа (рис. 277), Следовательно,
^обн = [1 -Ф{у- Р)1.
550
или
Ф (у — р) = 1—2Роб1
Это же выражение можно получить более строги. Рассмотрим плотность распределения вероятностей гр (и) случайной величины и — сечения случайной функции и (г) — в момент t = 10, когда имеет место максимум (пик) сигнала. Если это распределение подчиняется нормальному закону, то
Так как напряжение шума на выходе усилителя не имеет постоянной составляющей, очевидно, что она определяется сигналом, который в момент /0 достигает максимального значения мстах. Найдем вероятность того, что и > и0:
Обозначая, z0 (и0 — и)/о и 2 (и — и)/о; сг = ]найдем
Пусть, например, Робн = 0,9, тогда Ф [у — р) = - -0,8, но Ф (—z0) = —Ф (г0), т. е. Ф (р — у) = 0,8. По таблицам или графику находим [д, — у = 1,3, или jx = 1,3 -{- у.
Вероятность ложной тревоги Рл г можно найти аналогичным образом, хотя далее будет дано несколько иное определение. Действительно, в отсутствии сигнала, когда и — 0, вероятность превышения уровня и0 только шумом и равна
Если воспользоваться обратными функциями Лапласа Ф, можно
г|: (и) =
е
оо и—и
Роби = Р (2 > z0) = 0,5 [ 1 — ф (Z0)L
но
20 ' («0 ti)la UjO - Uq/Ulu Uс niax/^m У Р
где
У U.q/Uш, р Мс ша.х/^ш*
с шах.
следовательно,
Ф(У — р) = 1 — 2 Робн.
Рл.т = 0,5 [1 — Ф (у)],
или
Ф(у)= 1 -2 РЯшГ.
найти
Ф (1 - 2РДт т) = у\ Ф (1 — 2Роб„) = у — р,
18*
551
т. е.
Ф (1 — 2Яобн) == Ф(1 — 2ЯЛвТ) — р.
В оптимальной системе р = [х.
Таким образом, мы можем определить величины у и р, т. е. порог ограничения и отношение сигнала к шуму, задаваясь значениями вероятностей обнаружения и ложной тревоги. Однако остается невыясненным один крайне важный вопрос: как часто в системе с порогом у будут иметь место ложные тревоги? Следовательно, нужно установить связь между порогом ограничения у и временем между ложными тревогами ТЛшТ при заданной вероятности ложных тревог Ял.т.
При нормальном законе распределения среднее число выбросов шума в секунду за уровень и0 равно:
N (к0) = ; N (t/) — fme-“42,
где /ш = Yfm — среднеквадратическое значение частоты шума;
/ш — дисперсия частоты шума.
Дисперсию частоты шума можно найти через спектральную плотность шума Е (/). Действительно, спектральная плотность электрического напряжения шума представляет собой мощность шума, приходящуюся на единичный интервал частот
