Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
о
-1-00 оо
К(Дх)= I Е 1(x)ef2"KAxdx = 2 J Ej (х) cos 2лх Дх dx,
или
или
или
Е (х) — 2ЕХ (х) = 4 J К (Дх) cos 2лх Дх d (Дх);
о
со
К (Дх) — | Е (х) cos 2ях Дх dx,
Ei и = = 4г ) К (ДЛ е_/Ш ДХ d (Дх) =
- — J к (Д%) cos да Дх d (Дх);
о
К (Дх) = 2л } Е, И е/ш Az d (~) =
--ОО
I' оо оо
| Ех (да) е х dw — 2 [ Е^ (да) cos да Дх day,
Е (да) — 2ЕА (да) = J К (Дх) cos да Дх d (Дх);
о
оо
К (Дх) — 4 f Е (да) cos да Дх dw.
б
Полученные результаты сведены В табл. 23.
439
Т а б л и ц а 23
Наиболее употребительные определения спектральной плотности и вида преобразований Хинчина—Винера
Спектральная плотность и ее связь с дисперсией Преобразование Хинчина Винера
Ех (х) -f-oo U2 — | Ех (х) dy ОО -|-оо Ех(х) = J К (ДХ) е-/2лк д* d (AyJ = 0O 4-00 = 2 | К (Дх) cos 2пк Ах d (Дх) 0 4-оо к (Дх) = J Ej (и) е/2лк д* dx. = —оо оо = 2 | Ei (у) cos 2лк Дх dx 0
Е (х) — 2Еа (и) ОО и2 = [ Е (X) dx, 6 -f оо Е (к) = 2 J К (Дх) е~/2лк д* d (Дх) = — оо 4 00 = 4 J К (Дх) cos 2лх Ах ^ (А%) 0 оо К (Дх) — J Е (х) cos 2лх \% dx 0
F (w\ El(K) L* (Ш) - 2п -foo U2 — | Ех (и) dw — оо Е‘ (ш) = ~5п оо 0 К (Дх) = ос =21 0 -(-оо J К (Дх) e~iw Дх d(A%) = —оо К (Дх) cos w Дх d ( V/) -(-оо J Et (w) е'ш д* dw = — 00 Ej (i«) cos w Дx dtw
Е (ш) = 2Ej (ш) оо U2 = | Е (ш) dw 0 в<-> = -ЗГ_ оо ~ч я J 0 К (Дх) = -oo j К (Дх) e-/® Дх d (Ax) = -oo К (Дх) cos w Ax d (Ax) oo = 4 | Ex (iw) cos w Ax dw 0 -
440
§ 7. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И СПЕКТР ХИНЧИНА —ВИНЕРА НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ ИНВАРИАНТНОЙ СИСТЕМЫ
Пусть на произвольную линейную инвариантную систему с импульсной характеристикой К (х) действует сигнал t/BX (%), являющийся реализацией стационарного нормально распределенного случайного процесса.
Тогда сигнал па выходе можно найти в виде интеграла свертки
+о°
(х) = ^вх (X) 0 К (X) = J (Хг) К(%-Xi) dXi •
— оо
Так как сигнал, действующий на входе, случаен, то ансамблю реализаций Uux (%) соответствует ансамбль случайных чисел ^вых (х)- Нас интересует закон распределения этих случайных чисел.
Очевидно, что значения URX (хг), взятые из нормально распределенного процесса Unx (%), обладают нормальным распределением. При умножении их на постоянное число /С (х—Xi) распределение остается нормальным.
Таким образом, правая часть выражения для UUblx (х) есть сумма нормально распределенных слагаемых, откуда следует, чт0 ^Лилх (0{) подчиняется нормальному закону распределения. Это свойство нормального случайного процесса имеет фундаментальное значение и формулируется обычно следующим образом: при любых линейных преобразованиях нормального процесса закон распределения остается нормальным.
Корреляционную функцию и спектр Хинчина—Винера случайного процесса на выходе линейной системы можно найти непосредственно из выражения для UBhlx (%), однако мы воспользуемся более простым доказательством.
Предположим, что функции UBX (%) и ?/вых (х) имеют весьма большую, но конечную протяженность в интервале от — X до
I X. Тогда можно найти преобразования Фурье от этих «урезанных» функций ?/вхх (х) и ?/выхХ (х), которые связаны между собой соотношением ,
^выхх (^) ~ ^вхх (^) К (^)»
где с точностью до постоянного множителя комплексный коэффициент передачи
+ со
*(?).= J K(x)e-I2™*dz.
441
Далее можно найти:
I о*шх (*о f=| ^»хх м f I к (*) I2;
lim [| ижх <х) Р/(2Х)] = IК (х) |2 lim [I Unx (х) |*/(2Х)].
X >00 X >со 1
Так как спектр Хинчина—Винера определяется выражением E1(x) = lim[| Ux (и) |2/(2Х)],
то
Е1вых(х) = |К(х)|2Е1вх(х).
Корреляционная функция процесса на выходе равна
-J-с»
Квых(Лх)= j Ё111Ь11< (х) е'2ху'л* dx.
— оо
В этих выражениях обобщенная координата % в одних случаях представляет собой временную координату /, а в других — пространственные координаты х и у.
Обобщенная частота х может быть частотой / процесса, развивающегося во времени, или частотами v, ц для пространственных процессов.
Таким образом, анализ передачи нормальных случайных процессов через линейные системы с постоянными параметрами (усиление, фильтрация, дифференцирование, интегрирование и т. д.) по существу сводится к спектральному (корреляционному) анализу.
Значительно более сложен анализ передачи случайных процессов с распределением, отличающимся от нормального, так как закон распределения изменяется, а отыскание распределения на выходе системы в общем случае представляет собой весьма сложную задачу, которая рассматривается в специальной литературе.
Действительно, если сигнал на выходе нелинейной системы связан с сигналом на входе соотношением у — ф (я), то, полагая, что вероятность нахождения случайной величины х в интервале dx равна вероятности нахождения у в интервале dy, найдем ip (х) dx = = тр (у) dy, где (*) и \J) (у) — плотности распределения вероятностей на входе и выходе соответственно.
Следовательно,
ф (у) =
Г лава 17
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ И РАСЧЕТА УРОВНЯ ШУМОВ ОТДЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ ТРАКТА ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННОГО ПРИБОРА
§ 1. КОЭФФИЦИЕНТ ШУМА
Уровень шумов любого участка тракта оптико-электронного прибора, включая промежуточную среду, используемую для передачи потока излучения от источника до оптической системы, определяется не только шумами, действующими на входе данного участка, но и дополнительными шумами, вносимыми этим участком. Только в идеальном случае при прохождении сигнала по тракту не вносится дополнительных шумов. Для такой идеальной системы уровень шумов на выходе тот же, что и на входе. Однако, к сожалению, все реальные участки тракта: промежуточная среда (например, атмосфера Земли), приемник излучения, входная цепь, усилитель и т. д.—генерируют собственный шум. В результате отношение сигнала к шуму на выходе всегда меньше, чем на входе, если, конечно, оценивать эти отношения в равных условиях наблюдения.
