Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мирошников М.М. -> "Теоретические основы оптико-электронных приборов" -> 128

Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.

Мирошников М.М. Теоретические основы оптико-электронных приборов — Л.: Машиностроение, 1977. — 600 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskieosnovi1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 180 >> Следующая

El (оу) = Е (w)l2; w 7 2зтх.
Область интегрирования в некоторых из приведенных соотношений расширена на интервал от —оо до -|-оо, т. е. в рассмотрение введены отрицательные частоты.
Соотношения между функциями * Е (х), Ех (х), Е (w), Е, (ш) иллюстрируются кривыми на рис. 312.
* Иногда удобнее использовать иные обозначения. Например, обозначать спектральную плотность, учитывающую отрицательные частоты, Е (к), а в обозначение спектральной плотности для положительных частот вводить индекс « 1-» у символа частоты, т. е. Е(х,) или LC (иУ+).
Рис. 312. Различные функции спектральной плотности шума
435
Формально установленная связь Между дисперсией и спектральной плотностью шума может быть существенно углублена, если найти зависимость спектральной плотности шума от функции корреляции случайного процесса. Нетрудно понять возможные причины такой зависимости. Действительно, чем больше взаимосвязь между сечениями случайной функции, находящимися друг от друга на значительном расстоянии, тем, очевидно, более медленно развивается процесс, не испытывая резких изменений в промежутках между рассматриваемыми сечениями. Следовательно, в этом случае можно ожидать, что в спектральном распределении дисперсии случайного процесса отсутствуют составляющие на высоких частотах. Наоборот, если расположенные достаточно близко друг от друга сечения случайной функции связаны между собой слабо, можно ожидать быстрых изменений дисперсии процесса, т. е наличия значительной мощности его в высокочастотной области спектра.
Для установления интересующей нас зависимости предположим, что задана стационарная и эргодическая случайная функция U (%), определенная при всех значениях аргумента %. Пусть функция U {%) имеет весьма большую, но конечную протяженность в интервале от —X до +Х, т. е. она представляет собой «урезанную» функцию, определяемую соотношением
Функция автокорреляции рассматриваемой функции Ux (х)* определенная как среднее по аргументу, равна
где их (х) и их (х Л Ах) — центрированные значения функций
Функции их (х) и их (X + А у) можно представить в виде интегралов Фурье:
при I X I < X;

К (Ах) = lim w j их (X) «х (X + Ах) d%,
Х->О0 Y
Ux (х) и иX (X, + Ах).
«х(х)=т j их (к) е+'2пх% dx = J и*х (х) е ‘2пхх dx\
— оо
"X (X ! Ах) = j Их (х,)е''ЛК1 (х 1 Лх) dx,.
Следовательно,
436
-| X -J-co -| оо
К(Дх) = Шг,-‘ | | | Их (Xi) (и) е/2лК| Ax X
Х>оо ZjV J J
— X — СО —со
хе/2я <*,-*>* d%(lxdKi =
-J-оо
lim
X -> оо
" X (xl) и X (х)
/2лк, Ах
ч-х
lim \ е
X оо
х
/2л (х, -у.) х
t/x с/х,.
Но внутренний интеграл при X -> оо представляет собой дельтафункцию

ПОЭТОМ v
-|-oo
к (Ах)
lim
х->
и х (5<i) (Х)

1"/"Ли: 1 Лх б (х, - - х) с/х с/х,.
Так как дельта-функция не равна нулю только при х, — к, пользуясь фильтрующим свойством дельта функции, найдем*
+°°
К
lim Ы*)|,
Обозначив
найдем
Ei (х) = lim || их(и) |2/(2Х>1,
Х-М
Г w
К (AyJ - j К1(х)е/2лхЛхс/х.
Поскольку из полученного соотношения видно, что К (Ах) есть преобразование Фурье от Е, (х), то справедливо также и преобразование
—}-со
Ei(K) -= j К(Л-х)е-''2’”‘Л,1<1(Дх).
* Можно показать, что полученное значение является оценкой функции автокорреляции; более строгое рассмотрение приводи г к выражению
К (ДХ) Г lim l"x<X)lz е/2л*лх ,Jx J Х->°о 1%
I
I
437
При этом по-прежнему предполагается, что для случайной функции времени обобщенная координата % — t, а для случайной функции пространственных координат % = х или % = у.
Функция Ej (х) называется энергетическим спектром случайного процесса. Это название становится понятным, если учесть, что при Д% — О
К (А%) -= к (0) = й* = = (U - U)\
т. е. представляет собой дисперсию процесса Поскольку
-|- оо
К(Дх)= J Е 1(х)е/2я*Л*Л«,
— оо
то
-foo
иг — | Ех (х) dx,
— оо
откуда следует, что
представляет собой спектральную плотность дисперсии — дисперсию, приходящуюся на единичный интервал частот. Если процесс развивается во времени, а случайной функцией и (t) являются электрические напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на частотный интервал 1 Гц, т. е. мощность, умноженную на время или энергию. Поэтому спектральную плотность дисперсии процесса часто называют энергетическим спектром или спектром мощности. Однако, если речь идет, например, о спектре флуктуаций потока излучения, который сам является мощностью, предпочитают пользоваться названием — спектр Хинчина—Винера, так как именно Хинчин и Винер показали, что автокорреляционная функция и энергетический спектр случайного процесса являются парой преобразований Фурье:
-[-со
Е,(х) = J К (А%) е~,2п* Лх d (Лх);
--ОО
+ °°
К (Ах) - } Е,(х)е/лхЛх dx
-- оо
438
Учитывая различные определения спектральной плотности шума, а также четность корреляционной функции для стационарного случайного процесса, можно найти:
со
Ei (х) = j К (Дх) cos 2ях Дх d (Дх) =
— оо оо
= 2 | К (Дх) cos 2ях Дх d (Дх);
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed