Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
При каждом значении аргумента средняя функция равна среднему значению (математическому ожиданию) соответствующего сечения случайной функции.
Среднее значение сечения случайной функции (среднее значение случайной величины) (J равно сумме призведений всех возможных значений случайной величины (сечения случайной
429
функции) на вероятность этих значений, т. е. для непрерывной случайной величины
-1-00
U = j Uy(U)dU.
— оо
Математическое ожидание случайной функции можно найти, вычисляя U для различных значений аргумента %.
Для стационарных случайных функций, определение которых будет дано ниже, математическое ожидание, вычисленное по множеству реализаций (ансамблю), есть просто число, которое называют средним по ансамблю, в этом случае U = const.
При экспериментальных исследованиях вероятностных характеристик шума обычно используется другой способ усреднения — усреднение по аргументу %. Среднее по аргументу равно
+.х
Uu = Hm-^L_ j U(%)d%,
Х >оо ZX
где U (х) — одна из реализаций случайной функции, заданная в интервале =tX; 2Х — достаточно большой интервал, который теоретически стремится к бесконечности, а практически величина его столь велика, что результаты измерений существенно не отличаются от результатов, полученных внутри еще большего интервала.
В общем случае среднее значение для каждой реализации будет свое и может значительно отличаться от математического ожидания случайной функции, вычисленного как среднее из множества реализаций. Однако для особого класса случайных функций, получивших название эргодических, среднее по аргументу на достаточно большом участке наблюдения с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равно среднему но множеству наблюдений U = ит.
§ 4. ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Дисперсия случайной функции U (%) представляет собой некоторую неслучайную функцию, значение которой для каждого % равно дисперсии сечения случайной функции.
Дисперсией сечения случайной функции (дисперсией случайной величины) AU2 называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения
+ 00
М72 = (U - Uf = j (U-U)21|-(U)dU.
— оо
Дисперсию случайной функции можно найти, вычисляя АИг для различных /.
430
Так как
f оо -I оо -I со
ур= j {V-U?y{V)dU= J U^(U)dU- 2 J UL/y(U)dU +
— ос —oo —oo
f ] (U)^(U)dU - U2 -2UU + (Uf - U2 - (Uf, то при U=0
/\Ul = W.
Величина V д и* называется среднеквадратическим отклонением (значением) случайной величины — сечения случайной функции.
Для стационарной случайной функции дисперсия, вычисленная но множеству реализаций, постоянна, т. е. является просто числом, которое принято называть дисперсией по ансамблю, в этом случае At/2 = const.
Дисперсия случайной функции может также вычисляться как среднее по аргументу %
-1-х
В случае эргодической случайной функции дисперсии, вычисленные как среднее по аргументу и по ансамблю, совпадают:
MJ2 - дЩГг.
Для нормального закона распределения среднеквадратическим значением является стандартное отклонение о, а дисперсией — о2. Действительно, в этом случае имеем
-foo -f со
ДIP = f (U -Uf 1L LU) dU = Л_1_ f (U - Uf -й)У^2) dU.
J V 2лa2 J
Если г = (U — U)/q, to
+<
= -j=. a2 f z2e Z'/J dz
ЛГ 9-rr J
z2/2 . О2 2Г (3/2)
К2я _J№ К2я 2(0#*5
К я/2 „
- cr%
К 2я 1/(2 к2 ) так как
? 7п»~аг2 н? - Г|(п + 1)/2]
J е 2а <«+')/2 ’
о "
9 гамма-функция Г [(« 1)/2| при п = 2 равна Ул/2.
431
Для распределении Релея можно найти:
U -¦= | п/2о,{ — 1,253о/(,;
МЛ - 12 - (л/2)1 о* = 0,429а*.
§ б. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Математическое ожидание и дисперсия не дают достаточно полного представления о случайной функции. Две случайные функции могут иметь одинаковые среднее значение и дисперсию, но быть совершенно различными по характеру их изменения во времени.
Рассмотрим два соседних сечения случайной функции, т. е. две случайные величины 1/г = U (хО и U% = U (х2)- При близких значениях %i и х2 величины Иг и U2 связаны тесной зависимостью: если величина I)л приняла какое-то значение, то величина U2 с большой вероятностью примет значение, близкое к нему. При увеличении же интервала между сечениями %i и Хг зависимость между Ux и Uз должна ослабевать.
Степень зависимости случайных величин U} и U2 может быть охарактеризована некоторой функцией двух аргументов %i и Х2 — корреляционной функцией, которая определяется как математическое ожидание произведения двух центрированных случайных величин U! иг и i/2—
Ки{1и y^ = {Vx~Vx){U2-U2) =
+ °°
= Л) (t/3 — СЛ.) ф(<7„ UJdUtdU,.
— оо
Вместо корреляционной функции пользуются также коэффициентом корреляции
'u(Xi. ъ) = (<Л — [иг — и г) IV (t/, — ?7t)* (t/, — С7,)».
Если \ги \ — 1, то говорят о полной корреляции (полной взаимозависимости) случайных величин. Это имеет место, в частности, когда = %2 — %, т. е U, = U2 = V, так как в этом случае корреляционная функция равна дисперсии
ку(х) = («/ -Uf = W*.
Если коэффициент корреляции равен нулю, то случайные величины некоррелированы, т. е полностью независимы друг от друга. Если 0 < \ гц\ < 1, имеет место частичная корреляция.
