Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
то функция яр (U) удовлетворяет условию нормировки, т. е.
ф({/) -=(1/1/ 2ло"2) е
- (U-U)*/(20*)
j y(U)dU — I.
т
Для удобства отклонение V от среднего значения U часто выражают в единицах величины а, называемой стандартным или среднеквадратическим отклонением,
z — (U — U)/o = AU/o = и/о,
где AU = и = U — U — центрированное значение случайной величины.
Тогда
\j)(z) = (1/|/2я) е“г2/ ,
+°°
причем | \|) (z) dz = 1.
Двумерное нормальное распределение имеет плотность распределения вероятностей вида
Ф(Ui, U2) = [Ц(2ло1о2 \гТ— г2 )] х
1 Г(и*-Ух \2 ». , (и,-и, У21
2 (1-г2) LV CF! J J ' О, ) I о2 j 1 I о2 j I
С у
или
----- - |l/[2 (l-r2)]} [г2-2r2,22 + 22]
(zlf г2) = [ 1 /(2л v^l — г2)] е
где Oj, о2 — стандартные отклонения случайных величин (сечений случайной функции) Ux и U2; UL, U2— средние значения случайных величин Ux и V2; г — коэффициент корреляции случайных величин UI и U2, определение которого приводится ниже. Функции я]) (Ux, U2) и о]? (zx> z2) связаны соотношением
-}-оо -|-оо
j J ф (Uu U2) dUl dU2 = j J “Ф (zlt z2) dzx dz2 •-= 1.
CO -00
Если r — 0, to
-(1/2) ( zi + z2)
$(zx, z2) -=(1/2л)е ; —
= (l/V2л)е 1У (1/]/2л)е .
В этом случае двумерная плотность распределения вероятностей может быть представлена в виде произведения двух одномерных функций
яр (zXt z2) = ip (zx) я|> (z2), что существенно упрощает ее исследование.
426
Наряду с нормальным законом распределения при анализе шумов, прошедших через узкополосный фильтр и детектор элек-
тронной схемы *, используется распределение Релея, для которого ф (V) =
. ,94 ~u2K2c2b)
(U/ok) е при U > 0;
при U < 0.
Так как
f x‘e~ax' ri * — ГК»+ 0/2]
J 2о<'й ,)/2 ’
где Г — гамма-функция, то при ti = 1 и а = 1 /(2о^)
Сл едователь но,
Tw
j ф (?У) dU = 1.
Соответственно, если обозначить z = t//crfe, то
г]-(г) = (г/о*)е' г2/2.
Вид функций для нормального и релеевского (при afe = 1) распределений представлен на рис. 311.
Вероятность того, что сечение случайной функции U (%) для аргумента х, равное ?/, не превзойдет значения (У0, равна
и0
P\U<U„}-= j
-оо
Функцию, задающую эту вероятность, называют функцией распределения вероятностей сечения случайной функции
и о
F(U„) = P\U<Ue\ = j ф(У)^.
На выходе узкополосного фильтра шум представляет собой модулированное колебание, все параметры которого — несущая частота, фаза и огибающая — являются случайными медленно меняющимися функциями времени. Среднее значение несущей частоты равно частоте настройки фильтра, а среднее значение истотного отклонения шума близко к полосе пропускания фильтра. Фаза несуще» частоты равновероятна в интервале от —л до -}-я. Плотность вероятности 0111 б;нощей определяется распределением Релея, а спектр огибающей примы-"нот к нулевой частоте. Эта огибающая может быть выделена на нагрузке лн-u,,Ill"ro или квадратичного детектора.
427
Полученное соотношение устанавливает связь функции распределения с плотностью распределения вероятностей сечения случайной функции.
Очевидны также следующие соотношения:
-I оо
1 - /•- (1У„) = р \и > и„\ = j ф (U) ли-
и0
-l-f/o
F (+ U„) -F{-(JJ = P\-Ut<U< + U01 = J ч|, (U) dU.
-и0
Последнее соотношение, определяющее вероятность того, что сечение случайной функции U (у.) для аргумента %, равное U,
(jj(z)0.2 -
— — — у ¦ 0,5 F(Z о)
Рис. 311. Плотности распределения вероятностей (а) и функции распределения вероятностей (б) для нормальною (/) и релеевского (//) законов распределения вероятностей случайных функций
0 123401234
будет находиться в пределах от —U0 до -}-(У0, т. е. по абсолютному значению не превзойдет уровня U0, представляет наибольший интерес.
Действительно, для нормального закона, когда я|> (г) — четная функция, найдем
%0 Zq
Р\— z0<z<z0\ -= 2 J (z) dz =J е ° dz,
где z = (U — U)/o.
Полученное выражение, называемое интегралом вероятности Гаусса, табулировано. Значение интеграла вероятности
ф^=М^п,к
приведено в виде кривой на рис. 277 428
Иногда интегралом вероятности называют функцию
Zn
erf (2„) — —^ f e~z ?/2 = 0(| 2z0).
V n. ^
Так как в общем случае можно записать
и2
Г (I/,) - Г (I/,) = Я {(/, < и < 1/2| = f Ф (U) (IV,
и.
Т0 При (Ух = О F (6/i) = F (0). Если ф (U) = яр (~U), когда F (0) = 1/2, найдем
I'(U,) 0,5=U(U)jy.
о
Следовательно, учитывая, что для нормального закона
г„
} 1|'й* = 0,5Ф(г„),
о
получим
0,5Ф (2„) = F (z.) - F (0) ¦= F (г0) - 0,5.
Функция распределения вероятностей, определяющая вероятность того, что сечение случайной функции не превзойдет значения г0, равна
F(z0) — 0,5 [1 Ml-
Вид этой функции для нормального и релеевского законов распределения представлен на рис. 311.
Часто наиболее доступными и достаточными для описания вероятностных характеристик случайных функций являются их числовые параметры или так называемые моменты распределения — математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция.
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Математическое ожидание случайной функции V (%) представляет собой некоторую среднюю (неслучайную) функцию, вокруг которой различным образом располагаются конкретные реализации случайной функции.
