Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
= jtToSin2^' | dy[ J В (х[, г/i) h (х х[, у' — г/i) dx\.
—оо —оо
Внутренний интеграл представляет собой одномерную (по координате х') свертку функций В (х\ у{) и h (x't у’ — г/i), т. е.
+ о°
Я (X, г/i) 0 h (х, у — г/i) = j В (х'и г/i) h (.х' — х[, у' — у\) dx[.
— оо
Спектр свертки равен произведению спектров
1В [х, у\) ® h (х, у — г/i)1 = В {v, у{) h {v,yr — г/i).
Следовательно, сечение спектра исходной функции Е {х\ у') равно
л -f00 Е {v, у') = лТ0 sin2 и' J В*(л\ г/i) h (v, у' — г/i) dy[.
— оо
Так как у' = у и нас интересует сопряженное сечение спектра,
то
—|—оо
Ё* (v, У) = лТ0 sin2 и' j B*(v, ух) h*(v, у — ух) dyx.
-—оо
Здесь
+°°
В* (v, у,) - В* (v, у[) = j В (*;, д\) е/2™ dx\;
--ОО
____ +°°
/?(v, у^У0 = \ h(x, у— ух)ei2nvx' dx']
— оо
406
{x'u y'i) — произвольная точка в системе координат, связанных с объектом. ssj
Учтем, что х' = х — vt = х — л:0. Так как хх — произвольная координата, то, полагая хх = х0, получим
—{- оо
h* (v. У — У1) = j h(x — xv у — yx) e/2?iv <*-**> d (x — *j).
•—oo
При переходе к временным спектрам достаточно сделать подстановку v = flv. В результате можно найти
—оо
X , y — ijv)dydyx.
Если оптическая система идеальна, т. е. светящаяся точка в плоскости предметов изображается в картинной плоскости вновь в виде точки (а практически — в виде пятна, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с мгновенным полем зрения прибора), то функция рассеяния представляет собой дельтафункцию:
h (х — xXt у — ух) = 6 {х — хх, у — ух) = 6 (х — хЛ б (у — г/х).
Следовательно, в этом случае сопряженное сечение спектра функции рассеяния
Я* (v, у — ух) = 8* (v) 8 (у — ух),
причем 8* (v) = 1.
Тогда спектр сигнала, вырабатываемого безынерционным приемником, установленным в плоскости изображения, создаваемого идеальной оптической системой
0Ю (I) = ."’fra"*''' J J В* ( X, й ) S ( i., ) 6 (у - й) d# dft.
-ОО
Учитывая фильтрующие свойства дельта-функции, найдем
— оо
Если оптическая система, имеющая аберрации, визирует точечный источник (дельта-функцию), то
В (х[, у\) = /6 (х\, у{) = /6 (М) 6 (*/!), гДе / — сила света источника.
407
Следовательно, сопряженное сечение спектра распределения яркости
B*(v, ~у\) = /8* (v) 6 ((/!) = /6* (v) 8 (ft),
причем 6* (v) = 1.
В свою очередь, входящий в исходное уравнение коэффициент л sin2 и' для случая наблюдения точечного источника представим в виде
л sin2 и' = л (d/2)2l(ff)2 = Лоб/(/')2,
где Лоб = л^2/4 — площадь входного зрачка объектива; d — диаметр входного зрачка; /' — заднее фокусное расстояние.
Если бы источник излучения имел площадь АИСТ и находился на расстоянии L от объектива, то его изображение, создаваемое идеальным объективом в сопряженной плоскости, совпадающей с задней фокальной плоскостью при L —> оо, имело бы площадь «ист = А Ист (/т/L2. Поскольку (AHCTfL*) (Р)*1а„„ = 1, можно записать
л sin2 и' = Л°б Л,,ст (Г)2 - ^ист Л°б
(/¦')2 ?2 анст Аист
Для рассматриваемого случая площадь источника Лист и его изображения в идеальной оптической системе анст одинаковы (являются точками), т. е. АИСГ/аа„ = 1,
л sin2 и' = Ao6/L2 = л (d/2L)2.
Тогда спектр сигнала при реакции на единичный импульс найдем в виде
0. ^ = / j j § ^ ±, у) a* (j., у г й) б (j,,) d#,d^.
•—оо
Учитывая фильтрующие свойства дельта-функции [функция 6 (уг) отлична от нуля только при ух =0], получим
Ukf)= лТо(^/2цг / | s(-L, y)h*(-L, y)dy.
-ОО
Если точечный источник визируется идеальной оптической системой, легко найти, что спектр сигнала определяется лишь одномерным (вдоль оси х) спектром приемника излучения:
DJotf) = nTo(d/2i)2/^L.
Спектр сигнала на выходе усилителя во всех случаях равен
uc(f)-Vo(f)hP(f)SBAf)Kc(fY
408
Выражение для спектра сигнала, которое получается при визировании точечного источника, можно получить непосредственно из основных соотношений, не пользуясь понятием дельта функции и искусственным приемом вычисления коэффициента я sin2 и'.
Действительно, поток излучения от точечного источника, воспринимаемый объективом, равен IT0A0g/L2. Освещенность плоскости изображения в произвольной точке изопланарной системы определяется этим лучистым потоком и функцией рассеяния объектива:
Е (х, у) = /Т0 (Ao6/L2) h (х, у).
Так как в общем случае
+°°
-ОО
а
Ё* itIVГу) = /То (Atf/L'jh* (f/v, у),
то
viф = , j s(-L,g)fr(-L,2)dv.
§ 3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СПЕКТРА СИГНАЛА
Многочисленные примеры расчета спектра сигнала приводятся в монографии Н. С. Шестова «Выделение оптических сигналов на фоне случайных помех». Рассмотрим здесь следующие характерные случаи расчета:
1) идеальная оптическая система и разделяющиеся переменные в функции распределения чувствительности приемника излучения;
2) идеальная оптическая система и неразделяющиеся переменные;
3) оптическая система с аберрациями;
4) сканирующая оптическая система, для которой известен закон набегания изображения цели на чувствительную площадку приемника излучения.
3.1. Расчет спектра сигнала, вырабатываемого безынерционным приемником излучения, установленным в плоскости изображения идеального объектива, когда переменные в функции распределения чувствительности приемника
