Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
+ 0°
В (х1у уъ t) S (х, у) h (х, у, хъ ух) е i^tdxl dyt dxdy dt,
— oo
причем uc (/) выражается в В с или ВГц-1.
Полученное выражение можно существенно упростить, если ввести два важных допущения:
1) предположить, что оптическая система обладает свойством изопланарности (пространственной инвариантности), т. е.
h (х, у, хи ух) ^ h {х — хг, у — ух)\
2) задать закон сканирования (пространственной развертки изображения), когда зависимость освещенности в точке (х, у) плоскости изображения от времени Е (х, у, t) будет определена в явном виде.
§ 2. ИЗОПЛАНАРНАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА И ЗАДАННЫЙ ЗАКОН СКАНИРОВАНИЯ
Рассмотрим наиболее типичный случай, когда за счет сканирования объект движется относительно приемной системы, имея неизменную за время наблюдения яркость в точке с координатами хг, Ух.
Предположим, что относительное перемещение изображения объекта совершается вдоль оси х со скоростью v (рис. 303), и введем систему координат х'О'у', связанную с подвижным изображением объекта. В этих координатах освещенность в точке (#', у') от времени не зависит и равна Е (х', у'), а сама система координат х'О'у' движется относительно системы координат хОу вдоль оси х так, что х' = х — vt\ у’ = у.
402
В этим случае
Е (.ку') — Е (х — vt, у)
и реакция безынерционного приемника на воздействие лучистого потока определяется выражением
+°°
U0 (t) = j J S (x, у) E (x — vt, y) dx dy =
— oo —J— oo -j-oo
= J dy J E(x — vt, y)S(x, y)dx.
—oo —oo
Введем обозначение vt = xQ и рассмотрим внутренний интеграл выражения для (У0 (/), обозначив его U0 (лг0, у):
+°° у1 Uo (хо> У) — \ Е{х- — оо 1 У У У' 0:
— *0, у) S (х, у) dx. ^ * л
_xB-Vt . 0' / X
Вернемся к обозначению х' = t Л
= х — х0\ тогда получим
Рис. 303. Движение системы коор-.|_то динат х'О'у', связанной с изобра-
г жением объекта наблюдения (Ц),
ио(*о,У)= J E(x\y)S(x' -j- относительно неподвижной системы
—* оо координат хОу
-[-со
+Л'0, у) dx' = J Е (х\ у) S [х0 — (— х'), у] dx'.
— 00
Если принять х" = —x', dx' — —dx" и иметь в виду, что
, J— оо, х” = f оо;
Х |+оо, —оо,
найдем
-f 00
и* (*о. у) = \ Е (— у) S (х0 - х", у) dx".
Полученный интеграл есть одномерная свертка функций Е (—х0, у) и 5 (х0, У), т. е.
^0 (*0> У) = Е (—х0, у)® s (.х0, у).
Спектр свертки можно найти сразу же как произведение спектров функций, образующих свертку, однако, учитывая некоторые особенности, выполним весь расчет полностью.
403
Одномерный спектр функции U0 (х0, у) равен
-{-ОО
йо (V, у) = J и0{х0, y)e~i2nvx° dx0 =
— со
-(-со -J—оо
= j Е (- у) dx" ) S (х0 - х", у) t-Pdx0.
00 —со
Так как х0 — х" = х0 + х' — х, то
—{— оо j со
Uo (v, у) = J Е (— х", у) dx” J 5 (х, у) e-/2jtv <х < х"> dx =
•—со — оо
—j— оо -{-оо
= | Е (— Л-", у) e-~f2nvx" dx" j 5 (х, у) е-/2™* dx.
— со —оо
Вновь заменим переменную —х" = х’, причем заметим, что
в процессе этой замены одновременно с изменением знака первого
интеграла изменяются знаки пределов интегрирования; следовательно,
-|-со —{-со
и0 (V, у) = j Е(х\ у) e/2i(v*' dx' J S (х, у) e—i‘2nvxdx.
—оо —со
Первый интеграл представляет собой сопряженный одномерный спектр функции Е (х’, у), а второй — одномерный спектр функции S (х, у), поэтому
?o(v, у) = Ё* (V, y)/S (v, у),
где
-|-оо
Ё* (v, у) = J Е (х\ y)ti2jtvx’dx',
— оо
или, так как у = у',
-j-co
Ё* (v, */) = ?* (v, */') j ? (*', ?/') e/2jtvjc' dx',
~ +Г°°
¦S(v, i/) = J 1?{X, y)en2nvxdx.
--CO
Далее, поскольку
+°°
J Uo(x0, y) dy, -—00
404
¦го соответствующий спектр
&0 (v) = j ^0 (v, y)dy= J Ё* (v, y) S (v, y) dy.
—-oo —oo
Вспомним, что нас интересует функция
+ 00
U0 (0 = J Js (X, у) Е (х — vt, у) dx dy
--Ov
и ее спектр
-f-со -(-со
(70 (/) = J L/0 (/) e-Vnff dt = j j J S (*, y)E(x — vl, y) e-i2nfl dxdy dt.
-OO -CO
Ho U0 (x0) = U0 (vt), а спектр функции U0 (vt) равен
^ -f- oo -f-oo
(J0 (vt) = J L/0 (vt) dt = ^j- J U0 (л:0) e i2n Wv) x* dx0.
---CO — oo
При движении изображения объекта в картинной плоскости с линейной скоростью v вдоль оси х пространственный период к анализируется за время Т, представляющее собой период изменения сигнала во времени. Следовательно, Т =Уи; но Т = 1//, а А, = 1/v, т. е. / = vu, или //и = v. Тогда
^ t +°° ~
?/„ (й) = 4 1 М dx„ = -^2- •
--ОО
Поскольку функция ?/0 (*>/) определяется выражением
-I оо
U0 (*Ю = j j S (х, у) Е (х — vt, у) dx dy,
— со
то ее спектр
*ч~/ +оо
U0(vt)--=* Ш S (х, у)Е(х — vt, у) е~/2я^ dx dy dt,
— со
следовательно,
if) = U» (vt) = UQ (x)/v = U0(f,fv)/v,
т. e.
oo -f-oo
^ = I ?*(v,»)S(v,w<i(/ = 4 J y)s(-f >
405
Для того чтобы получить эту формулу, можно также использовать соотношение U0 (f) df — U0 (v) dv, откуда
<7o(/) = 0.(v)-?-= &.(V) dV - U,M - (Уо,,/")
df }' ’ vdv v v
В общем случае в системе координат х'О'у', связанной с объектом наблюдения, освещенность точки (х', у') равна
-(-оо
Е (х, у') = л/ToSin2 и J J В (*!, у[) h (х , у , х[, у[) dx{dy\.
- -оо
Для изопланарной системы
-f оо
Е (х’, у') ¦= л;То sin2 и J J В (xl, у\) h (х — х\, у' — у[) dx\ dy\ =
—оо +°° + со
