Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
382
характер и известно как интеграл суперпозиции, означающий, что линейная система полностью характеризуется суммой ее откликов па входные воздействия.
Поскольку освсщеннисть в точке (хх, ух) плоскости изображения связана с яркостью соответствующей точки объекта В (xlf ух) известным соотношением
Е (хг, ух) = лТ0 sin2 и В (xJ? ух),
где Т0 — спектральный коэффициент пропускания олтической системы прибора и промежуточной среды, и - задний апертурный угол объектива, то можно найти
+ оо
Е(х> у) — лТ0 sin2 и1 jj В(хх, yx)h{x, у, хх, yx)dxxdyx.
— со
Теперь можно определить двумерный спектр выходного сигнала, т. е. вычислить величину
-I со
Ё (v, |и) = J | Е (х, у) e~i2n Cvjc+jxf/) dx dy =.
— oo
-1-00
= jiT0sin2w' j j J J В (xlf yx)h(x, y, xv y{)e-i'2lx(-vx^Ulxxdyxdxdy.
—oo
Процесс вычисления можно существенно упростить, введя некоторые ограничения вида функции рассеяния.
Если размытие изображения одинаково во всех точках ноля зрения объектива, т. е. качество изображения по полю постоянно, то освещенность в рассматриваемой точке (х, у) зависит только от расстояния, па котором она находится от точки (х1? ух), куда направлен поток излучения. В этом случае функция рассеяния
h (х, у, хх, ух) = h (х — х1г у — ух)
и считают, что оптическая система удовлетворяет условию пространственной инвариантности, или изопланарности. Она аналогична линейному электрическому фильтру, форма сигнала на выходе которого не зависит от момента прихода входного импульса. Изопланарная оптическая система обладает только сферической аберрацией и дифракционным размытием изображения. Наличие комы и астигматизма делает систему неизоплапарной в целом, однако иоле зрения всегда можно разделить на зоны, в пределах которых условие изопланарности соблюдается с определенной точностью и функция рассеяния значительно не изменяется (разделение на изопланарные области). В этом случае можно найти +°°
Е (*> У) = \\Е (*1> Vi)h (х — *1 > У — У1) dxi Луч
— оо
383
или
-J-oo
Е (х, у) = яТ0sin'2и' j\ В (хj, #,) h(x — xv у — yj dxx dyL.
— oo
Используя теорему о спектре свертки, получим двумерный спектр выходного сигнала оптической системы в виде
Ё (v, ц) = лТ0 sin2 и'В (v, |ы) Я (v, ft,), где спектральная плотность распределения яркости
-|-СО
В (v, ft) = j J В (x, у) e—i2n (хх+чу) dxdy,
а спектральная плотность функции рассеяния
—|—оо
/г (v, |i) = j J h (x, y) e-i2n (v*+n*/) dx dy
называется передаточной функцией оптической системы (оптической передаточной функцией).
Эта функция автоматически нормирована, так как нормировка означает вычисление отношения
+00 I
h (v, (ы) = j j h (x, у) е-/2я dx dy \\h(x, y) dx dy,
но ранее уже было определено, что
-j-oo
j j h (x, y) dx dy — 1.
Часто оказывается удобным использовать не двумерные передаточные функции, а соответствующие сечения при заданных значениях одной из координат х или у, преобразование Фурье по которой не осуществляется.
В частности, спектр сечения функции В (я1э ух) при заданном ух
-|-оо
B{v, у,) = \ В (*!, г/i) o—i2nvx dx.
384
Спектр сечения функции Е (я, у) при заданном у
-{-со
Ё (v, у) = лТ0 sin2 и' j В (V, уг) h(v, у— z/j) d^.
— со
Значение освещенности на выходе оптической системы можно найти по ее спектру, использовав обратное преобразование Фурье
*-|— оо
Е(х, у) = ^ J Ё (v, ji) е/2я dv dju =
--00
—|—oo
= яТ0 sin2 u' J J В (v, ji) h (v, jx) e' ' ’ VA'L^) dv d[i.
--CO
Следовательно, оптическая система осуществляет двумерное преобразование Фурье над произведением спектров ее функции рассеяния и выходного сигнала.
Г лава 14
ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КАК ФИЛЬТР ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
§ 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Оптическая передаточная функция h (v, ji) позволяет установить соответствие между двумерным спектром распределения яркости в плоскости объекта и двумерным спектром распределения освещенности в плоскости изображения:
Ё (v, ц) — зтТ0 sin2u'h (v, ji) В (v, ц).
Следовательно, оптическая система представляет собой линейный фильтр пространственных частот с коэффициентом передачи h (v, jx).
Модуль функции Я (v, [я) называют двумерной пространственно-частотной характеристикой (ПЧХ) оптической системы.
Рассмотрим простой пример, позволяющий понять, как оптическая система выполняет функции пространственного фильтра.
Пусть функция рассеяния определяется следующими соотношениями:
J h0 при |*|<//2, \у\< //2;
1(*’ У)~ \ 0 при \х\>1/2, \у\>Ц 2,
13 М. М. Мир ош ini к on 385
причем условием нормировки является
-1-00
JI h(x, у) dx dy = hot2 — 1.
— оо
Спектр функции рассеяния — оптическая передаточная функция
4-00
f J Л (х, у) е-/2я dx dy
h (v, |i) = —----^-------------------=
J J h (x, y) dx dy
+ 1/2 +1/2
h0 j t-i2nvxdx J е~!2лм dy —1/2 -1/2
V2 “
= /,0Ьа(2т.//2)аа(2я|х//2) = sa (jw/) sa ^
Очевидно, что рассматриваемая оптическая система вдоль каждой из осей х и у будет пропускать в основном сигналы с частотами, находящимися в пределах главного максимума функций sa (nvl) и sa (jcjx/), т. е. ограниченными значениями v0 == щ .= 1II.
Поскольку трудно представить практическую реализацию системы с функцией рассеяния квадратной формы при равномерном распределении энергии в ее пределах, в дальнейшем будут рассмотрены более точные аппроксимации.
