Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
он может получить dj = 0), (36.196)
іjk == «приведенный квадрупольный момент» [поскольку система почти ньютоновская, fjh дается выражением (36.3)].
В волновой зоне статическая часть потенциала (—Mlr — djH3lr2) сохраняет свою ньютоновскую форму неизменной. Ho динамическая часть (— іJkJi3HkIr3) перестает описываться на ньютоновском языке. По мере того как становятся заметными эффекты запаздывания (при растущих значениях г), динамическая часть постепенно превращается в расходящиеся гравитационные волны, которые следует описывать либо с помощью ітеупрощенной общей теории относительности, либо линеаризованной теории, либо с использованием «коротковолнового приближения», изложенного в § 35.13.
Если мы предпочли использовать в волновой зоне линеаризованную теорию и если мы наложили в этой зоне условия поперечной калибровки со следом, равным нулю, (JilJl=O, Jijjr = 0. J1Jh, к = 0), то гравитационные волны принимают вид
Jijh — у і Jh (t — г) -f поправки порядка (t — г)] (36.20)
[это выражение выводится ниже, см. (36.47)]. Здесь *Jk — вторая производная по времени от той части квадрупольного момента,
§ 36.Т. Формулы оля излучения 221
I
которая поперечна и имеет равный нулю след (поперечна радиальному направлению; см. § 35.4); таким образом,
• • * * I * *
f jk — Pja.la.bPbk 2" ^ jk^ablabi
Раъ = (8аь — папь) (оператор проекции), (36.21)
па^=ха/г (единичный радиальный вектор).
Эффективный тензор энергии-импульса для этих расходящихся волн (§ 35.7) имеет ту же форму, что и для совокупности частиц с пулевой массой покоя, движущихся по радиусам наружу со скоростью света; па больших расстояниях компоненты этого тензора нашшзшего иеисчсзающего порядка равны
V(GW) ji(GW) rp(GW) I пJT JJT , 1 ;утт'\’ттк
I (jo — гг — 22я ' М» 0/ — 8лг2 ^ —
= 8л;.п ( fjh ijk— 2пг itj IjkUk (и7- fj-ft/г^)2). (36.22)
Здесь угловые скобки обозначают усреднение по нескольким длинам волн. (Напомним, что энергию гравитационных волн нельзя локализовать в области меньше длины волны!) Полная мощность, протекающая через сферу радиуса г в момент времени t, составляем
Lew V, г) = j r(GW)0V dQ = 4-(*(t-r) "ijk (t-r)> (36.23)
[см. упражнение (36.9)]. Это и есть формула (36.1), с которой начиналась данная главі.
Волновые фронты имеют не точно сферическую форму. Например, для двойной звездной системы волновые фронты в экваториальной плоскости должны представлять собой спирали. Это означает, что поток имеет слабую нерадиальную компоненту импульса, которая уменьшается с расстоянием как Ifr3. С этим нерадиальным импульсом непосредственно связана плотность момента импульса (момента импульса относительно центра системы г = 0), спадающая наружу как 1 Ir2 (см. [236] с поправками, внесенными в работе [251], стр. 286)
у 1 = -^r Eijh {— Qnj ikmimpHp + Srij ihmnmnpt pqnq). (36.24)
Интеграл от этой величины по сфере прэдставляет собой полный момент импульса, уносимый наружу за единицу времени
-dJj:dt^ \f^d9. Л^f(YuaYaf) (36.25)
(см. упражнение 36.9).
2) эффективный тензор
энергии-импульса
3) полная излучаемая мощность
4) плотность момента импульса
5) полный излучаемый момент импульса
I
222 36. Генерация гравитационных волн
Граничное условие для расходящейся волны приводит к потенциалу реакции излучения ньютоновского типа
Вид и величина потенциала реакции излучения
§ 36.8. РЕАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИХСЯ ИСТОЧНИКАХ1)
Законы сохранения, обсуждавшиеся в дополнении 19.1 и выведенные в § 20.5, гарантируют, что источник теряет энергию и момент импульса с той же скоростью, с какой гравитационные волны уносят их наружу. Непосредственным агентом, который создает эти потери, является малая компонента пространственно-временной кривизны внутри источника, меняющая свой знак на обратный, если перейти от (реалистического) граничного условия на бесконечности для расходящейся волны к обратному (нереалистическому) граничному условию для сходящейся волны. Если источник подчиняется условиям (36.18), т. е. является почти ньютоновским и медленно движущимся, то эти части кривизны, обусловливающие «реакцию излучения», могут быть описаны на ньютоновском языке.
В динамическую часть ньютоновского потенциала в ее «классическом виде»
Ф = — j іjk (t) njnjr3 + О (1 /г4)
[выражение (36.18)] запаздывание не входит. (Ньютоновская теория предполагает дальнодействие!) Следовательно, классический потенциал невозможно выбрать так, чтобы на больших радиусах он сшивался с расходящимися или со сходящимися волнами. He поддающийся такому сшиванию классический потенциал допускает, однако, промежуточный путь — сшивание со стоячими волнами (половина расходящихся волн плюс половина сходящихся). Ho это не то, что требуется. Оказывается (см. § 36.11), что осуществить сшивание с чисто расходящимися волнами можно в том и только в том случае, если к Ф добавить малый потенциал «реакции излучения»:
Ф =Фкласс. ньют. теор +Ф(РЄаКЦ\ ^36.26а)
ф(реакц) _ i_ xixA' (36.266)
5 dtf
Если вместо ЭТОГО ПОЛОЖИТЬ Ф = Фкласс — ф(Реакч>? то потенциал будет сшиваться с чисто сходящимися волнами.
