Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
35.19. Тензор!7^ как среднее от псевдотензора энергии-импульса
Выпишите среднее по нескольким длинам волн от псевдотензора энергии-импульса Ландау — Лифшица [выражение (20.22)] для гравитационных волн с %!М 1. Результат должен быть равным
I^r. (Указание. Чтобы облегчить вычисления, работайте в калибровке, В которой Zljx I “a = Zl = 0.)
35.20. Коротковолновое приближение с вариационной точки зрения
Читатели, ознакомившиеся с вариационным подходом к теории гравитации в гл. 21, возможно, заинтересуются приводимым ниже выводом основных уравнений коротковолнового приближения.
УПРАЖНЕНИЯ
2
198 35. Распространение гравитационных волн
УПРАЖНЕНИЯ
Этот вывод разработали независимо Шандор Ковач и Бернард
Шутц, а также Брайс Де Витт *). Мак-Коллом и Тауб дают трак-
товку, отличную от трактовки Палатшш.
а. Определите
= + K^ Kv = Kv — -J gfflh, (35.78а)
W7^fiv = -J g(B) (Zlapiyb Kylli — Z?p7|a). (35.786)
Поднимайте и опускайте индексы в Ziliv и W^p7 с помощью фоновой метрики. Воспользовавшись результатом упражнения 35.11, выведите следующее выражение для лагранжиана гравитационного поля:
I / у- , /полная дивергенция\
Х — 16л g> ' & -г [ вида QxaIdxa ) +
(поправки порядках Jl3Ik2, , (35.78в)
и меньше /
где
[R^ - Pv (Wlm - n7“a|V) +
+ g^v (Wa^W\v-Wa^W\*)\. (35.78г)
[Указание. Напомним, что
(_ я« в = д[(- ва)/дх«
для любого 5“.] Отбросьте в выражении для X поправки порядка Ji3Iki и, заранее зная, что уравнения поля потребуют, чтобы R^v ~ J--2Ik2, отбросьте также поправки порядка R^Л. Зная, что полная дивергенция не дает вклада при вычислении экстремума, отбросьте этот член в выражении для X. После этого X' будет единственной оставшейся частью лагранжиана X.
б. Найдите экстремум интеграла I = | X' dkx методом Пала-
тини (§ 21.2), т. е. забудьте (на время) определение (35.786) величины и найдите экстремум I по всем независимым вариациям
W11 р7 = W^1vр, Ikyiv = hv>x и g(% = g(B). Покажите, что экстреми-зация по р7 вновь приводит к уравнению (35.786), которое выражает Wyiр7 через Zifiv. Покажите, что экстремизация по Ziliv совместно с уравнениями (35.78а), (35.786) приводит к уравнению
1J He опубликовано, 1971 г.
§ 35.15. Тензор энергии-импульса для гравитационных волн 199
2
распространения гравитационных волн (35.64). Покажите, что экстремизация по совместно с уравнениями (35.78а),
(35.786) и с уравнением распространения (35.64) после усреднения по нескольким длинам волн приводит к уравнению
— йтт T(GW)
-- Ovlx JiV »
где дается выражением (35.70). (Предостережение. Если с
самого начала не наложить калибровочных условий Ъ = IiJ1 | р = = 0, то алгебраические преобразования в этом упражнении станут невообразимо громоздкими.)
УПРАЖНЕНИЯ
I
Исследование генерации гравитационных волн с помощью аналогии с электромагнитными волнами
36. ГЕНЕРАЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН
Материя описывается кривизной, но не всякая кривизна в действительности описывает материю: кривизна может существовать «в пустоте».
ЛЕМЕТР
§ 36.1. КВАДРУПОЛЬНАЯ ПРИРОДА ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН
Массы внутри изолированной системы, которая носит почти ньютоновский характер, движутся одна относительно другой. Сколько гравитационного излучения они испускают?
Для порядковой оценки можно применить формулы для излучения, знакомые из электромагнитной теории, произведя в них замену е2 —т2, при которой статический закон Кулона превра-
щается в закон тяготения Ньютона. При такой процедуре гравитация рассматривается не как тензорное поле со спином 2, а как векторное поле со спином 1; следовательно, при таком рассмотрении возникают заметные ошибки в численных множителях и в угловом распределении излучения. Ho при этом получается правильная оценка полной мощности излучения.
В электромагнитной теории основную роль играет излучение электрического диполя; при этом излучаемая мощность, или «светимость», L (см. § 4.4 и фиг. 4.6) для отдельной частицы, имеющей ускорение а, дается выражением
¦^эл. ДИПОЛЬ — (2/з) б2®2,
а дипольный момент изменяется как й~ех=еа. Для произвольной системы с дипольным моментом (L
¦^эл. ДИПОЛЬ = (2I3) d2.
[Геометрические единицы: светимость измеряется в см массы-энергии, деленных на см времени, определяемого по распространению света; заряд измеряется в см, е = (G1Z2Ic2) е0бычи — = (2,87-10"25 см/ед. СГСЭ) (4,8-10"10 СГСЭ) = 1,38-Ю'34 см, ускорение измеряется в см расстояния, дважды деленных на см
§ 36.1. Кеадруполъная природа гравитационных волн 201
I
времени. В обычных единицах, где е измеряется в единицах СГСЭ или в (г •см3/с2)1/2, надо подставить в правую часть множитель с~3, и мы получим L в эрг/см.] Гравитационным аналогом электрического дипольного момента служит дипольный момент масс
d = 2 mA^A-
по частицам А
Его первая производная по времени (скорость изменения) есть полный импульс системы
d = 2 TUaX- = р.
по частицам А
Вторая производная (скорость изменения скорости) должна обращаться в нуль вследствие закона сохранения импульса d = р -= 0. Поэтому в гравитационной физике не может быть дипольного излучения, создаваемого диполем масс.
