Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
из тождества
n(GW) Iiv
0 + ошибка,
(35.71)
где ошибка (T(GW) ^vLfi) в коротковолновом приближении
является пренебрежимо малой.
Некоторые из свойств r[fvW) уже исследовались в § 35.7. Другие свойства исследуются в упражнениях 35.18 и 35.19.
I
§ 35.15. Тензор энергии-импульса для гравитационных волн 195
35.14. Усреднение Брилла — Хартля
Айзаксон [231] вводит следующую схему усреднения, которую он называет «усреднением Брилла — Хартля».
а. В малой области размером в несколько длин волн, где производится усреднение, в метрике g(fj имеется одна геодезическая, которая соединяет две произвольные точки SP' и SP, поэтому заданный в SP' тензор E (S?') может быть подвергнут параллельному переносу вдоль этой геодезической в точку SP \ при этом там получится тензор E {$Р')^0э-
б. Пусть / ('SP', SP) — весовая функция, которая плавно падает до нуля, если SP' и SP разделены большим числом длин волн, и которая такова, что
j j(SP', SP) Y — g(B) (^') d'*x' = I. (35.72)
в. Тогда усредненное по нескольким длинам волн вокруг точки SP тензорное поле E (Sv) имеет вид
(E)i3O= j E(SP'USof(Sr>', &)Y-gW(&') dV. (35.73)
1. Покажите, что существует некая величина (SP, SP'),
у которой индекс со штрихом преобразуется как у тензора в точке SP', а индекс без штриха как тензор в точке SP; при этом (если E — тензор второго ранга)
Ea, {&')_#> = ^ypB)v4'v' (^')- (35.74)
Эта величина называется «бивектором параллельного переноса вдоль геодезической», см. [224] или [235].
2. Переписав выражение (37.73) на координатном языке в виде
(?ap(z)>= j g(aHi' (х, x')g^Bh” (Х, X')E^V’(X') X
X / (аг, х') Y -g(B> (*') &х', (35.73')
выведите три правила усреднения, которые были перечислены в начале § 35.15. (Решение см. в работе 1231].)
35.15. Геометрическая оптика
Разработайте геометрическую оптику для гравитационных волн малой амплитуды, распространяющихся на искривленном фоне, по образцу геометрической оптики для электромагнитных волн (§22.5). В частности, допустите, что h ^lv имеет медленно меняющуюся амплитуду (масштаб изменения /^.5?) и быстро меняющуюся фазу (8 - ~ 1/Х). Разложите амплитуду по степеням X//, так что
Anv -SR (Alv-LeBllv+ E2^iv+ ...}е>-е/е. (35.75)
13*
2
УПРАЖНЕНИЯ
2
УПРАЖНЕНИЯ
196 35* Распространение гравитационных волн
Здесь є — формальный параметр разложения, в действительности равный единице, который напоминает о том, что члены, содержащие єп, пропорциональны (к/М)п. Дадим определение следующих величин (здесь A^lv обозначает величину, комплексно сопряженную Л ^v):
«волновой вектор»: &а=0>а, (35.76а)
«скалярная амплитуда»: Jk = |-|-Л?ч,Лмд'^ /2, (35.766)
«поляризация»: е^ = AiivIJk. (35.76в)
Подставляя выражение (35.75) в условие калибровки (35.66) и в уравнение распространения волн (35.68), выведите основные уравнения геометрической оптики, которые следуют ниже.
а. Лучи (кривые, перпендикулярные поверхностям постоянной фазы) являются нулевыми геодезическими, т. е.
кака = 0, (35.77а)
ка \ = 0. (35.776)
б. Поляризация ортогональна лучам и переносится вдоль них,
оставаясь параллельной самой себе:
е^ака = 0, (35.77b)
^iiv і а,ка = 0. (35.77г)
в. Когда лучи расходятся, скалярная амплитуда уменьшается согласно уравнению
Jk,X= -^kalaJk, (35.77д)
т. е.
(Jk2ka)\a= 0 («сохранение числа гравитонов»), (35.77е)
г. Поправка к амплитуде Bliv подчиняется соотношениям
B^aka = IAja, (35.77ж)
Bfiv\a.ka=---2" &|a^nv+"2" ^nvloc "Г ^aiipv^ (35.77з)
Выберете, согласно упражнению 35.13, такую специальную калибровку, чтобы h = 0, т. е.
еаа = 0. (35.77п)
Покажите далее, что тензор энергии-импульса (35.70') для этих волн есть
Tfvw0 = Ji2KK- (35.77к)
§ 35.15. Тензор энергии-импульса для гравитационных волн 197
2
Он имеет ту же форму, что и тензор энергии-импульса для пучка частиц с нулевой массой покоя (см. § 5.4). Покажите в явном виде, что Ticgw^vi v = 0.
35.16. Гравитоны
Покажите, что геометрическая оптика, развитая в предыдущем упражнении, эквивалентна следующему утверждению: «Постулируется, что гравитон представляет собой частицу с нулевой массой покоя и 4-импульсом р, которая движется вдоль нулевой геодезической (VpP = 0). С ней связан переносимый параллельно самому себе (Vpe = 0), поперечный (е*р = 0) со следом, равным нулю (еаа = 0), тензор поляризации е. Геометрическая оптика есть теория, описывающая поток таких гравитонов, движущихся в пространстве-времени». Выявите связь величин в этой трактовке геометрической оптики с соответствующими величинами в предшествующей трактовке (например, р=ЙК, где Ti — приведенная постоянная Планка h/2n).
35.17. Гравитационное отклонение гравитационных волн
Покажите, что гравитационные волны с малой длиной волны, проходя через Солнечную систему, испытывают красное смещение и гравитационное отклонение такие же, как свет. (Вы должны уметь вывести это непосредственно из упражнения 35.15.)
35.18. Калибровочная инвариантность тензора
Покажите, что тензор энергии-импульса Т1'™'1, определяемый выражением (35.70), инвариантен относительно калибровочных преобразований вида (35.65).
