Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно содержатся в этом уравнении распространения все эффекты, обусловленные линейным влиянием фоновой кривизны на распространяющуюся волну. Эти эффекты исследуются для случая малых длин волн (~КІМ 1) и для почти плоских волновых фронтов в упражнениях 35.15—35.17 в конце главы. Рассматриваемые эффекты включают гравитационное красное смещение гравитационного излучения и гравитационное отклонение направления распространения гравитационного излучения, т. е. эффекты, аналогичные тем, которые имеют место для света; кроме того, сюда входит вращение тензора поляризации. Когда длина волны не мала {к/М немного меньше 1), уравнение распространения описывает обратное рассеяние гравитационных волн на фоновой кривизне и получающуюся в результате картину волновых «хвостов», аналогичную той, которая исследовалась в упражнении 32.10 (см., например, [71, 74, 227, 234]).
§ 35.15. Тензор энергии-импульса для гравитационных волн 193
2
35.12. Калибровочные преобразования на искривленном фоне
а. Покажите, что инфинитезимальное координатное преобразование (35.65а) приводит к изменению (35.656) функционального вида возмущений метрики.
б. Рассмотрите связь между этим калибровочным преобразованием и понятием вектора Киллинга (§ 25.2).
35.13. Поперечная калибровка со следом, равным нулю, для гравитационных волн, распространяющихся
на искривленном фоне
а. Покажите, что в вакууме в искривленном пространстве-вре-
мени калибровочное условие Jiv^ \а = 0 сохраняется при тех преобразованиях, генератор которых удовлетворяет волновому уравнению = 0.
б. Локально (на расстояниях много меньше М) применима линеаризованная теория, поэтому существует такое преобразование, которое дает [см. уравнения (35.76) и (35.8а)]
A = O + ошибка, AixaUa = 0 + ошибка. (35.69)
Здесь иа — векторное поле, которое, насколько это только возможно, является ковариантно постоянным (и“ р = 0), т. е. является постоянным вектором в инерциальных координатах линеаризованной теории, причем на расстояниях много меньше M ошибки малы. Покажите', что наряду с AixcJa = 0 может глобально выполняться условие A = 0, т. е. покажите, что если наложить это условие на начальной гиперповерхности, то уравнение распространения (35.68) обеспечивает сохранение этого условия.
в. Покажите, что в общем случае фоновая кривизна препятствует какому бы то ни было вектору быть ковариантно постоянным (в лучшем случае u® ^ ~ UaJM)', исходя из этого, покажите, что невозможно наложить глобальное условие JillaUa = 0 одновременно с условием Ap“|a =0.
§ 35.15. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ДЛЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН
Обратимся теперь к вычислению эффективного тензора энергии-импульса T^V\ определяемого выражением (35.61). Для этого необходимо усреднить различные величины по нескольким длинам волн. При работе с величинами, заключенными в скобки усредне-
УПРАЖНЕНИЯ
Процесс
усреднения при «крупномасштабном подходе»
13—018
2
194
35. Распространение гравитационных волн
Вычисление
эффективного
тензора
энергии-импульса для гравитационных волн
Точность выражения ДЛЯ T (GTV)
Свойства тензора T(GW)
JXV
ніш < }, полезны следующие правила (обоснование см. в упражнении 35.14):
1. Ковариантные производные коммутируют, например (h Iitiv] і а з ) = (h Iiviv y.fia )• Относительные ошибки, вызванные такой свободной перестановкой ковариантных производных, ~(X/J?)2, т. е. значительно меньше точности расчета.
2. Градиенты при усреднении обращаются в нуль, например v)| о > = 0. Возникающие здесь относительные ошибки ^к/39.
3. Вследствие этого можно свободно интегрировать по частям, перенося производные с одного h на другое, например (h Iiliv | а р ) =
— ( — pfe Jlv) а).
Непосредственное, но длинное вычисление, при котором исполь-
((h\g.hyLVJ
зуются эти правила определение (35.63) для
а также выражение (35.586) для R^v
(2)
Сh),
h
М. V,
уравнепие распространения волн (GW)
Jlv ' приводят к сле-
Ш,2) (А) > = 0 и
(35.64) и, наконец, определение (35.61) для Tvuv
дующим результатам:
T$W)= (ha^hap{v~ihiVLh\v-2ha%hM)
1 Г T
(35.70)
Этот результат уже приводился в (35.23'), если не считать, что там мы пользовались системой координат линеаризованной теории, в которой ковариантные производные совпадают с обычными. В калибровке, при которой IiilaIa = 0, последний член исчезает. Если, кроме того, след Iiliv равен нулю (см. упражнение 35.13), то исчезает и второй член и остается лишь
^(GW)
IXV
— І!2Їх V)*
а р
если
Л?|а=& = 0.
(35.70')
В этих выражениях для эффективного тензора энергии-импульса гравитационной волны содержатся относительные ошибки порядка Jf, обусловленные тем, что не учитывались поправки второго порядка к Iivlv; эти выражения содержат также относительные ошибки порядка %!М, возникающие в результате процесса усреднения, который теряет смысл, когда величина X приближается к М. Поскольку Jt ^ (35.28), основные ошибки в порядка \!М.
G такой точностью тензор энергии-импульса гравитационных волн выступает наравне с любым другим тензором энергии-импульса. Он играет ту же роль в создании фоновой кривизны и в таком же виде входит в законы сохранения. В качестве примера можно показать либо непосредственными вычислениям*, либо исходя Gm ttvI „ = 0, что
