Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(В)
по отношению к ^jlv i а точкой с запятой — ковариантные производные по отношению к gflv.
а. Здесь gffi и gffi нужно представлять себе как две различные метрики, сосуществующие в пространственно-временном многообразии. Покажите, что разность между соответствующими кова-риантными производными V — V(B) == S (на самом деле разность между любыми двумя ковариантными производными) есть тензор с компонентами
S%v = rV-r(B)V (35.626)
(Указание. Cm. дополнение 10.3, Б.)
б. Покажите, что
+KvaIiJ-IivaHafV + . .., (35.62в)
а также что
gixv ^g(B)UV_h»v_|_ UliaJiJ-HvaJiJhfcgw. (35.62b')
в. Вычисляя g^v в локально лоренцевой системе отсчета, а затем вновь переходя к первоначальной системе отсчета, покажите, что
Sliev = Y g^ (КPIv-Ь AavIP — ApV|a), (35.62г)
J?“pT6-i?(B>“pv6 --=5Viv-5Via+ S VS V--Sa^V. (35.62д) Яра - Д,В)цб = 5“рй1а - 5Vie+ 5%а5%й - 5“ 1в5‘V- (35.62е)
г. Покажите, что выражение (35.62е) сводится к
Лрй = й(В)рв+Л(1,рй(А) + /?<2)рв (А) + . . ., (35.62ж)
где і?11’ и i?l2) определяются выражениями (35.58).
§ 35.14. Влияние фоновой кривизны, на распространение волн 191
2
§ 35.14. ВЛИЯНИЕ ФОНОВОЙ КРИВИЗНЫ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
Сосредоточим внимание на уравнении (Ji) = 0, описывающем распространение волн. Как в линеаризованной теории, здесь также намного проще исследовать распространение, пользуясь величинами
= Kv-YhgV* (35.63)
вместо A(lv. Уравнение (А) = 0, переписанное в терминах Jiiiv1 имеет вид
AlXViaa+ ^A0V - 2ha{VL]v)a + 2iCe7Aap - 2iCAv)“ = 0. (35.64)
[Чтобы получить это уравнение, решим уравнение (35.63) относительно Aixv и получим Ziixv = Hilv---Tj- g$h; подставим это выра-
жение в (35.58а) и приравняем результат нулю, затем поменяем местами ковариантные производные, используя тождество (16.66); наконец, приведем подобные члены, чтобы получить выражения для А| аа, и подставим его обратно в ранее полученное уравнение.] Уравнение распространения (35.64) можно упростить специальным выбором калибровки. Инфинитезимальное преобразование координат
*?ов №) - *?тар (Si) +Г т (35.65а)
приводит к изменению функциональной формы метрических коэффициентов в первом порядке по амплитуде согласно соотношению
A(iv‘HOB нов ) = Ajiv стар (% нов) (Зэ.65о)
(аналог калибровочного преобразования в линеаризованной теории, уравнение (35.Зв); см. также упражнение 35.12). При подходящем выборе четырех функций в новой системе координат можно наложить четыре «условия лоренцевой калибровки»
Thla\ а = 0 (35.66)
(см. упражнение 35.13). Такой выбор калибровки аналогичен соот-ветствуюшему выбору в линеаризованной теории. Он приводит к тому, что второй и третий члены в уравнении для распространения гравитационных волн обращаются в нуль. (Дополнительные калибровочные условия ТТ-типа см. в упражнении 35.13.)
Последний член в уравнении распространения —2/?(й)а(|Х Aav с точностью, равной точности метода, обращается в нуль по следующей причине: мы ограничились рассмотрением вакуума, поэтому единственным источником не равного нулю тензора Риччи служит энергия-импульс, переносимый самими гравитационными
Определение
Уравнение распространения волн на искривленном фоне
Выбор
«лоренцевой
калибровки»
В :іа 11 мо дейст к не волн
с тензором Риччи можно
не учитывать
2
192 35. Распространение гравитационных волн
Уравнение распространения в лоренцевой калибровке и область его применимости
Перечень
эффектов,
отсутствующих и содержащихся в уравнении распространения
волнами [уравнение (35.60)]; следовательно, R^i ~ A2IK2 и
R(B)aiVL Ka~ А3/к\ (35.67)
Это величина того же порядка, что и поправка третьего порядка к тензору Риччи (/і), учет которой выходит за рамки рассма-
триваемого метода. Поэтому, чтобы быть последовательными и не превышать точность метода, этим членом мы пренебрегаем.
Кратко повторим все, что было изложено выше в этом параграфе: выбирая калибровку, в которой Iiv^a = 0, и отбрасывая члены более высокого порядка, чем точность метода, мы получаем уравнение для распространения волн в вакууме
Iiliv і аа + 2i?(B)aMvAap = 0 (35.68)
при выполнении условия лоренцевой калибровки
Vla = O.
Уравнение (35.68) является точным в первом порядке по амплитуде [поправки ~ .^2 содержатся в (35.59в)], и точность этого уравнения не зависит от отношения %1М, что можно видеть из уравнений (35.59). Таким образом, его можно применять для слабых волн всегда, даже если длина волны велика!
Всеми нелинейными взаимодействиями волны с самой же волной в этом уравнении распространения первого порядка по амплитуде мы пренебрегаем. Это уравнение не описывает также механизмы рассеяния волн друг на друге и на фоновой кривизне, которую создают сами волны, и какие бы то ни было намеки на изменение формы импульса, обусловленное самовзаимодействием волн при их распространении. Нет никаких признаков гравитационного коллапса, который, как мы знаем, должен иметь место, когда масса-энергия гравитационных волн т сжата в области с размером ^m. Чтобы обнаружить все эти эффекты, мы должны обратиться к поправкам второго порядка по А и выше [например, к уравнениям (35.59в) и (35.60)].
