Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
g,V = + A11V (35.55)
3) эффективный тензор
энергии-импульса для рябн
УПРАЖНЕНИЕ
Основы
коротко BOЛНО ВОГо формализма:
1) определение пелнчин 52, ft и
2) требования
Л<Л И х/М«1
3) расщепление метрики на фон и возмущение; «стационарные координаты»
2
4) расщепление тензора
кривизны Риччи
Расщепление уравнений поля в вакууме
188 35. Распространение гравитационных волн
Возмущения и фон обладают следующими свойствами: 1) амплитуда возмущений Л такова, что
К.Ч < (типичное значение gffi) ¦ А\ (35.56а)
2) [характерный масштаб изменения
g»?v, а < (типичное значение g(^v)!.6A\ (35.566)
3) [характерный масштаб изменения Aljv] ~ к,
Аду. а ~ (типичное значение Aliv) Д. (35.56в)
Такие координаты называют стационарными.
Как показывают довольно длинные вычисления (см. упражнение 35.11), тензор Риччи для метрики, разложенной в виде (35.55), есть
Rliv — Rffi + R\tl (A) 4- R^ (А) + ошибка.
Atk2
(35.57)
Л2/*? Jl3Ik2
Здесь под каждым членом указан порядок его величины (Alk2 и т. д.); Rffi — тензор Риччи для фоновой метрики gffi; R11H и — следующие выражения:
R^lv (А) = ~2 ( — A]JJ.V — AplVla +Aanlv*+ AavJn )i (35.58а)
R\il (А) = Tj- AaPlnAa^lv 4' Aa^ (AaPIiiV+ Anv|ap —
Aanlvp — Aav|np)+Av ^ (Aan)P Арша) ^A ^ip 2- A j X
X (Aanlv+ Aavln -AflVia)]. (35.586)
В этих выражениях и ниже индексы поднимаются и опускаются с помощью gffi, а вертикальная черта обозначает ковариантную производную по отношению к gffi (в то время как в гл. 21 она обозначает ковариантную производную по отношению к 3-геометрии).
Основу коротковолнового формализма составляет присущий ему метод решения уравнений поля в вакууме Rliv = 0. Эти уравнения расщепляются на «волновую часть» (~ Jh), «крупномасштабную часть» (~ А2; гладкая в масштабе к) и «флуктуационные поправки» (~А2; рябь в масштабе к). Сначала выделим из выражения (35.57) часть А, линейную по амплитуде волны, и положим ее равной нулю. Искривление фона под действием волн есть нелинейный эффект (линеаризованная теория не дает даже намека на этот эффект), поэтому не может быть линейным по А.
Следовательно, в выражении (35.57) Ri^v (А) является единственным
§ 35.13. Коротковолновое приближение 189
2
линейным членом, и он должен обращаться в нуль:
[h) = 0. (35.59а)
[Конечно, Ziflv может содержать нелинейные поправки (назовем их Jixv) порядка .у?2, не входящие в это линейное уравнение. Они будут определены ниже в (35.59в).]
После этого то, что осталось от Rlivi разделим на две части: одна из них не содержит ряби, т. е. она изменяется лишь в масштабах, много больших, чем к («крупномасштабный подход»), а вторая содержит флуктуации. Это разделение может быть осуществлено путем усреднения по нескольким длинам волн (точное рассмотрение процесса усреднения см. в упражнении 35.14; см. также работу [233], где приведен класс решений, для которых подобное усреднение не требуется):
<v4 <Д$(А)>+ ошибка= О [Г^Г] - (35-596)
? A3Ik3
4V (Г) + RiS (h) - (RilIi (Zi)) + ошибка = О Г Флуктуирующая j _
А2/к2^ \ A2Ik2 J2Ik2 A3Ik2 (35.59в)
—^нелинейная поправка к h
Вот и все! Осталось лишь привести уравнения к удобной для работы форме и дать более полную физическую интерпретацию.
Начнем с интерпретации. Уравнение (35.59а) — это уравнение распространения гравитационных волн Zifiv.
Уравнение (35.596) показывает, каким образом энергия-импульс волн порождает фоновую кривизну. Его можно переписать в более удобном виде:
G$ = R^ — -j R^’g^v 8n7,|iGvw/) в вакууме, (35.60)
где
s- Ш {{R$ W ~ T (*» } (35-61)
есть тензор энергии-импульса гравитационных волн. Теперь мы видим, откуда появилось утверждение, сделанное в § 35.7, что энергию-импульс гравитационных волн можно корректно определить лишь в нелокальном смысле.
Наконец, уравнение (35.59в) показывает, каким образом гравитационные волны создают нелинейные поправки к самим себе (рассеяние волны на волне, гармоники основной частоты и т. д.). Эти эффекты более высокого порядка в настоящей главе исследоваться не будут.
Физическая интерпретация трех частей уравнений поля:
1) распространение волн
2) создание фоновой кривизны энергией волн; определение тензора T(GW)
HV
3) нелинейное
взаимодействие
волн
2
190 35. Распространение гравитационных волн
УПРАЖНЕНИЕ
35.11. Коэффициенты связности и тензоры кривизны для возмущенной метрики
¦к.
В специально выбранной системе координат для произвольного пространства-времени выпишите метрические коэффициенты в ко-вариантном представлении в форме
guv = gvBv + AJiv. (35.62а)
(После всех вычислений можно разделить Ajlv на две части: Iillv — Ajiv + /Vv и получить формулы, которые использовались в тексте.) Предположите, что характерная величина компонент Hliv много меньше характерной величины компонент gffi, поэтому можно разложить символы Кристоффеля и тензоры кривизны по степеням Iitlv. Индексы в Jitiv поднимайте и опускайте с помощью
gffi и обозначьте вертикальной чертой ковариантные производные
