Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 35.10. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТОЧНОЙ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
Пространство-время является абсолютно плоским как до прихода импульса плоской волны (и < —Т), так и после его прохождения (и > Т). Об этом говорилось в предыдущем параграфе.
Совершенно плоский характер пространства-времени вне импульса очень не типичен для гравитационных волн в неупрощенной нелинейной общей теории относительности. В этом примере так получилось лишь потому, что волновые фронты (поверхности постоянных U и V, т. е. постоянных Z и t) являлись совершенно плоскими 2-поверхностями. Если бы фронты были изогнутыми (например, сферическими), то энергия, переносимая импульсом, создавала бы кривизну пространства-времени и вне импульса.
Чтобы представить себе нелинейный характер действия волны, перейдем от геометрии вне импульса, где она является плоской, к воздействию импульса на свободные пробные частицы. Рассмотрим семейство частиц, каждая из которых до прихода импульса покоится по отношению к первоначальной системе координат t, х, у, z [мировые линии (X, у, z) = const]. Затем даже в момент прохождения импульса и после того, как он уже прошел, частицы продолжают покоиться по отношению к этой системе координат. [Это утверждение справедливо для любой метрики типа (35.29а), если g0ll = —S011, так что Г%0 = 0 и поэтому Xv- = S110T + const является решением уравнения геодезических.]
УПРАЖНЕНИЯ
Плоский
характер
пространства-
времени
вне гравитационно-волнового импульса не является типичным
Действие точного гравита-ционно-волново-го импульса на пробные частицы:
2
1) поперечный характер относительных ускорений
2) гравитационное
притяжение,
обусловленное
энергией,
ваключенной
в импульсе
Электромагнитный импульс в ви-де плоской волны
184 35. Распространение гравитационных волн
Между двумя частицами, лежащими вдоль направления распространения импульса (z-направления), постоянным является не только координатное расстояние Ax — Ay = 0 и Az Ф 0, но и истинное расстояние между частицами As = gzz1/2 Az = Az. Следовательно, точная плоская волна является чисто поперечной, так же как и плоская волна в линеаризованной теории.
Если соседние частицы расположены перпендикулярно направлению распространения (Ах ф 0, Ay Ф 0, Az = 0), то импульс, проходя мимо частиц, изменит истинное расстояние между ними:
A s = L(t—z) [Є2Р(і-г) (Дг)2 _|_ e-2P(f-2) (Ay)SjVa ^
» L [(1 + 2Р) (Ax)* + (1 - 2(3) (Ау)211/2. (35.38)
На обычное колебание, типичное для линеаризованной теории и обусловленное «волновым фактором» р, накладывается очень малое, не связанное с этим фактором ускорение частиц по направлению друг к другу, вызываемое «фоновым фактором» L [обратите внимание на вид величины L (и) на фиг. 35.3]. Это ускорение почти ньютоновского типа, и объясняется оно гравитационным притяжением энергии, которую гравитационная волна проносит между двумя частицами. Полный эффект всей прошедшей мимо частиц энергии заключается в следующем: если первоначально частицы покоились одна по отношению к другой, то в конечном состоянии они движутся относительно друг друга со скоростью
^конечн = dAs/dt = d (LAsi)Idt — —ASiIa, (35.39)
где
Asi = [(Aa:)2 + (Аг/)2]1/2 = (начальное расстояние между частицами). [НапоМНИМ, ЧТО -^начальн == 1 -^конечн I ulu 1
— (г — z)/a, уравнение (35.33).
Точно такой же эффект создает импульс электромагнитных волн (§ 35.11).
§ 35.11. СРАВНЕНИЕ ТОЧНОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ С ГРАВИТАЦИОННОЙ ПЛОСКОЙ ВОЛНОЙ
Рассмотрим метрику
dsz = L2 (и) (dx2 + dy2) — dudv, (35.40)
которая всегда является плоской, если удовлетворяет уравнениям Эйнштейна в вакууме (Rliv = 0 или L" = 0), и поэтому не может
представлять собой метрику гравитационной волны. В этой
метрике электромагнитный потенциал
А = Aix da;*1 = Jk (и) йх (35.41)
§ 35.12. Новая точка зрения на плоскую волну 185
2
удовлетворяет уравнениям Максвелла при произвольном Л (и). Этот потенциал представляет плоскую электромагнитную волну, аналогичную плоской гравитационной волне, которой посвящено несколько последних параграфов. Единственными отличными от нуля компонентами поля этой волны являются
Fux = Л', т. е. Ftx = -Fzx = Л', (35.42)
так что электрический вектор колеблется в ^-направлении, магнитный вектор колеблется в у-направлении, а волна распространяется в z-направлении. В координатах (х, у, и, v) отлична от нуля лишь компонента тензора энергии-импульса
Tuu = (4ixL2)-1 (Л')\ ' (35.43)
Потенциал (35.41) в фоновой метрике (35.40) уже удовлетворяет уравнениям Максвелла, в чем читатель может убедиться сам. Чтобы сделать приемлемой саму метрику, нужно лишь наложить на нее уравнения Эйнштейна Gtiv = SitT1fiv. Они запишутся в виде [см. уравнение (35.30) при р = 0]
L" + (AnTuu) L = 0. (35.44)
Это в точности совпадает по форме с уравнением L" + (P')2 L = 0 для гравитационной волны. Следовательно, относительное движение пробных частиц под действием «фонового фактора» одинаково независимо от того, создается ли L (и) Ф 1 энергией-импульсом электромагнитной волны или же соответствующей гравитационной волной, для которой
