Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Из всей обширной литературы, посвященной точным решениям, мы выбрали как компромисс между реалистичностью и сложностью следующую плоскую волну [163, 229]:
ds2 = L2 (е2Р dx2 -)- е~2P dy2) -f- dz2 — dt2 —
= L2 (е2Р dx2 + е - 2P dy2) — dudv. (35.29а)
Здесь
и = t — z, V = t + z, L = L (и), P = P (и). (35.296)
Возможный вид функций L (и) («фоновый фактор») и P (и) («волновой фактор») определяется уравнениями поля в вакууме. В нулевой системе координат и, v, х, у единственная компонента тензора Риччи, не обращающаяся тождественно в нуль, есть (см. дополнение 14.4, учитывая различие в координатах, 2утам = ^3aecb)
Ruu = -2L-1 \L" + (P')2 LI (35.30)
где штрихом обозначается d/du. Таким образом, уравнения Эйнштейна в вакууме принимают вид
L" + (р')2 L = O (35.31)
(«влияние волнового фактора на фоновый фактор»).
В линеаризованном варианте это уравнение имеет вид L" = 0, поскольку (P')2 — величина второго порядка малости. Поэтому соответствующее решение в линеаризованной теории есть
L = I, р (и) произвольно, но мало. Соответствующая метрика определяется выражением ds2 = (I + 2Р) dx2 + (I - 2р) dy2 + dz2 - dt2, р = р (< — z).
(35.32)
Заметим, что это плоская волна с поляризацией в+, распространяющаяся в направлении z. (Cm. упражнение 35.10 в конце § 35.12,
§ 35.9. Точное решение для плоской волны 181
2
ФИГ. 35.3.
Пространственно-временная диаграмма и профиль импульса точного решения эйнштейновских уравнений поля для плоской волны. Метрика имеет вид
ds2 == L2 (е2^ dx2-Н~2Р dy2) + dz2 — dt2.
«Волновой фактор» р (и) = P (t — z) (мелкомасштабная рябь) и «фоновый фактор» L (и) = L (t — z) (крупномасштабное искривление фоновой геометрии из-за эффективной массы энергии гравитационной волны в виде «ряби») показаны на фигуре, а также даны в аналитической форме в (35.33).
где решение обобщается на случай волны, обладающей обеими поляризациями е+ и ех-)
Вернемся к точной плоской волне и сосредоточим свое внимание на том случае, когда «волновой фактор» P (и) представляет собой короткий импульс продолжительностью 2Т И I P' I HT на протяжении всего импульса. Тогда точное решение (фиг. 35.3) имеет вид: 1) при и < —T (плоское пространство-время; импульс еще не пришел)
P = O, L = I; (35.33а)
2) при —T <С и < jT T (внутренняя область импульса)
P = P (и) произвольно, кроме ограничения | P' | С ИТ,
(35.336)
U U
L(U)=I- j { j [Р>)]*<Й}<Й+0([Р'7*]4);
-T -T
3) при и > T (после прохождения импульса)
Р=0, Z = l_|, O = ------L QHP'gjfL. (35.33b)
5 m2 du J (V)2 du
-T -T
4) чаетный случай: импулье плоской волны
2
182 35. Распространение гравитационных волн
5) пространство-время
является плоским вне импульса
УПРАЖНЕНИЯ
Прежде чем обсуждать физическую интерпретацию этого точного решения, необходимо рассмотреть сингулярность в метрических коэффициентах при и = а T (при этом Z=O, так что gxx = = gу у = 0). Является ли это физической сингулярностью, подобной области г = 0 в геометрии Шварцшильда, или это всего лишь координатная сингулярность, похожая на г = 2M в шварцшильдовских координатах (гл. 31—33)? Для метрики (35.29) отличны от нуля лишь следующие компоненты тензора Римана (см. дополнение 14.4):
Bxuxli = ^Ruu-F-2 (L'/L)P,
, (35.34)
*jU=y*„„ + P" + 2(L7?)P'.
Более того, обе эти компоненты обращаются в нуль в любой протяженной области, где Р=0. Таким образом, пространство-время является абсолютно плоским в тех областях, где «волновой фактор» обращается в нуль — что имеет место всюду вне импульса! В частности, пространство-время является плоским вблизи и = а, так что сингулярность в этом месте должна носить координатный характер, а не физический. Чтобы исключить эту сингулярность, можно произвести преобразование координат
X Y гт т; I X2 + ^2 /ок о
*=7=77^’ и = и' и = 7 + (35-35)
по всей области, лежащей в будущем по отношению к импульсу (и > Т), где
ds2 = (1 — и/а)2 (dx2 -f dy2) — du dv. (35.36а)
В новых координатах X, Y, U, V метрика явно соответствует плоскому пространству-времени
ds2 = dX2 + d?2-dUdV при U = u>T. (35.366)
35.8. Координаты для плоской волны, не имеющие координатной сингулярности [163]
Найдите координатное преобразование, подобное (33.35), которое приводит точное решение для плоской волны (35.29а), (35.31) к виду
ds2 = dX2 + dY2 -dUdV + (X2 - Y2) F du2, (35.37)
F = F (U) абсолютно произвольно.
Достоинство этой системы координат в том, что в ней отсутствует координатная сингулярность, в то время как первоначальная система была хороша тем, что в ней было легко перейти к линеаризованной теории и интерпретировать действие волны на пробные частицы.
§ 35.10. Физические свойства точной плоской волны
183
2
35.9. Геодезическая полнота многообразия, связанного с плоской волной [163]
Докажите, что система координат (X, Y, U, V), введенная в упражнении 35.8, полностью покрывает описываемое ею пространственно-временное многообразие. В частности, покажите, что любая геодезическая может быть продолжена в обоих направлениях сколь угодно далеко по аффинному параметру, не выходя при этом за пределы системы координат (X, Y, U, V). (Это свойство называется геодезической полнотой.) [Указание. Выберите произвольное событие и в нем произвольный тангенциальный вектор d/dX. Ими определяется произвольная геодезическая. Проделайте преобразование координат, оставляющее неизменным вид метрики, таким образом, чтобы d'dX в новой системе координат принадлежал либо 2-поверхности (U, V) = const, либо 2-поверхности (X, Y) = = const. Проверьте, что эти системы координат покрывают одну и ту же область пространства-времени. Затем исследуйте полноту геодезических, описываемых векторами d/dX в координатах (X, Y, U, У).]
