Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Поле излучения с любым спином S имеет два ортогональных состояния линейной поляризации г). Они наклонены друг к другу на угол 90°/iS. Таким образом, для нейтринного поля со снином
S = V2 различают два состояния поляризации, обозначаемые J f > и I j > (спин вверх, спин вниз; угол 180°). Для электромагнитной волны с S = 1 два ортогональных состояния поляризации суть ех и еу (угол 90°). Для гравитационной волны с S = 2 два ортогональных состояния поляризации — е+ и ех (угол 45е).
35.6. Вращательные преобразования для состояний поляризации
Рассмотрите две лоренцевы системы координат, повернутые одна относительно другой на угол 0 вокруг направления z:
t' — t, х' = X COS 0 + у Sin 0, у' = у COS 0 — х sin 0, z' = z.
(35.21)
Пусть I f > и I j > — квантовомеханические состояния нейтрино со спином вверх и со спином вниз относительно направления х, и аналогично | f') и | ) — относительно направления х'.
Пусть ех, еу, ех>, еу' — единичные векторы поляризации в двух системах координат для электромагнитной волны, распространяющейся в направлении z, и аналогично е+, вх- в + ', еХ' для гравитационной волны в линеаризованной теории. Выведите следующие законы преобразования:
I f> -= I f> eos У 0 +11) sin у 0; 11') = — 11> sin У 0+11) cos у 0;
<V = e.Tcos0-t-ej,sin0; еу —¦ — е* sin 0-f-cos 0; (35.22) е+> =e+cos20 + ex sin 20; ex< = —e+sin 204-ех cos 20.
Как обобщаются эти законы преобразования для линейно поляризованных базисных состояний поля излучения с произвольным спином 6"?
1) Имеется в виду ортогональность не в пространственном смысле, а в квантовомеханическом (независимость состояний).— Прим. перев.
§ 35.7. Энергия-импульс, переносимый гравитационной волной 177
I
35.7. Эллиптическая поляризация
Рассмотрите эллиптически поляризованные гравитационные волны, следуя по тому же пути, что и при обсуждении волн с линейной и круговой поляризацией (фиг. 35.2).
§ 35.7. ЭНЕРГИЯ-ИМПУЛЬС, ПЕРЕНОСИМЫЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ ВОЛНОЙ
В упражнении 18.5 показано, что в принципе возможно построить детекторы, которые отбирают энергию у гравитационных волн. Следовательно, эти волны должны переносить энергию.
К сожалению, вывод и обоснование выражения для энергии гравитационных волн требует более тонкого подхода, чем линеаризованная теория. Такой подход будет развит ниже в этой главе (§ 35.13 и 35.15). Ho для тех, кто читает только курс 1, мы приведем здесь основные результаты.
Согласно рассмотрению в § 19.4 и 20.4, энергия-импульс, переносимый гравитационной волной, не может быть локализован в области, размеры которой меньше длины волны. Нельзя сказать, переносится ли энергия гребнем, впадиной или «склоном» волны. Однако можно сказать, что определенное количество энергии и импульса содержится в данной «макроскопической» области (области с размерами в несколько длин волн); таким образом, можно говорить о тензоре эффективного размазанного энергии-импуль-са гравитационной волны Т'™\ В (почти) инерциальной системе отсчета линеаризованной теории дается выражением
Tfvi0 (35.23)
где ( > обозначает усреднение по нескольким длинам волн, a hjh — (калибровочно инвариантная) поперечная бесследовая часть Aliv, которая при ТТ-калибровке совпадает с hjk. Другое выражение для Tсправедливое для любой калибровки с h Ф 0, AjJf а ф0 и А0|г Ф- Oi имеет вид
T7Jiv * — 02л (jA^fl.v — ~2 A.nA.v — , рАац, v — Aa^pAav, •
(35.23')
Дивергенция этого тензора энергии-импульса, как и любого другого тензора энергии-имяульса, в вакууме равна нулю:
= (35.24)
как и любой другой тензор энергии-импульса, он дает вклад в крупномасштабную фоновую кривизну (которая не учитывается линеа-
УПРАЖНЕНИЯ
Приближенный
характер
локализации
энергии в
гравитационной
волне
Тензор эффективного энергии-импульса для гравитационных волн:
1) выраженный через возмущения метрики
2) подчиняется закону сохранения энергии
12—018
I
178 35. Распространение гравитацион}{Ы.г волн
3) его роль как источника фоновой кривизны
4) для плоской монохроматической волны
Условия
справедливости
формализма
гравитационных
волн
Нелинейные эффекты в физике гравитационных волн:
ризованной теорией)
Cv - 8я (T$W) + Т^щество) + .Г(™' поля)). (35.25)
Записывая здесь член Tдля эффективной размазанной плотности энергии гравитационной волны, мы тем самым запрещаем какое-либо дополнительное введение гравитационных волн в уравнение Эйнштейна. В противном случае это могло бы привести к тому, что вклад в фоновую кривизну пространства одной волны учитывался бы дважды, хотя он и выражался бы с помощью весьма различных формализмов.
Согласно уравнению (35.23), тензор энергии-импульса для плоской волны
Ziliv = 91 {(A+e+tlv + Axexilv) (35.26)
есть
T(tfW) = T?ZW) = - T?W) = - Jjf со2 (I A+\2-^\ Ax I2). (35.27)
Отметим, что радиус фоновой кривизны Зі (о котором в линеаризованной теории умалчивается), приведенная длина волны г. (равная Х/2п) и амплитуда гравитационной волны M удовлетворяют следующим соотношениям:
