Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть в какой-то произвольной калибровке линеаризованной теории задана плоская волна в виде (35.4). Продемонстрируйте в явном виде преобразование, приводящее эту волну к ТТ-калиб-ровке. (Указание. Работайте в лоренцевой системе отсчета, в которой 4-скорость и^, связанная с ТТ-калибровкой, есть и0 = 1, и3 = 0. Найдите четыре константы в производящей функции
(35.6), потребовав для этого, чтобы Jiiiv удовлетворяли условиям
(35.7), которые накладываются ТТ-калибровкой).
35.2. Ограничение на существование ТТ-калибровки
Хотя возмущения метрики Jitiv для любой гравитационной волны в линеаризованной теории могут быть представлены в форме
(35.8), соответствующей ТТ-калибровке. по этого нельзя сделать
Тензор кривизны в ТТ-калибровке
УПРАЖНЕНИЯ
168 35. Распространение гравитационных волн
для возмущений Jivlv, которые не связаны с излучением. В качестве примера рассмотрите внешнее гравитационное поле вращающейся сферической звезды, которое нельзя записать как суперпозицию плоских волн:
2Af , 2М с „ 5 'хт
— -у- > hjk — -у- &jk, hok — — рт рз , r = (f + }4 Z2)1/2
[см. уравнение (19.5)]. Здесь M — масса звезды, a S — ее угловой момент. Покажите, что это поле нельзя привести к ТТ-калибровке. (Указание. Вычислите Rjoko и из него с помощью (35.10) выведите hjk. Затем вычислите R0xyz как в первоначальной калибровке, так и в новой калибровке; вы обнаружите, что результаты этих вычислений не согласуются друг с другом — не только из-за члена, содержащего массу, но также из-за члена с угловым моментом.)
35.3. Цилиндрическая гравитационная волна
Чтобы вернуть уверенность, поколебленную, быть может, упражнением 35.2, можно рассмотреть решение, описывающее излучение, у которого единственной неисчезающей компонентой Zitiv является
hzz = 4А cos (cot) J0 (о) Ухг -j- у2),
где J0 — функция Бесселя. Это решение описывает суперпозицию сходящихся и расходящихся гравитационных волн. Вычислите
TT
для этого гравитационного поля Rjoho и из него выведите Zijft . После ЭТОГО вычислите несколько других компонент Rapyб (например, Rxyxy) как в первоначальной калибровке, так и в ТТ-калибровке и убедитесь в том, что ответы получатся одинаковыми.
35.4. Составляющие метрических возмущений, не сводимые к ТТ-частям [курс 2]
Из дополнения 35.1 выведите формулу Zit = V-2 (Ziftft р^ —hki> hf); затем убедитесь непосредственно в калибровочной инвариантности hT, показав, что hkk Cf — hhg h/> калибровочно инвариантно. Воспользуйтесь тем, что 6hij = Hii;. Аналогично покажите, что величины Zioft, определенные соотношением Zioft = Zi0h — V2 (Zio, iih + Zift ^0),
калибровочно инвариантны. Покажите, исходя из калибровочно инвариантных уравнений поля (18.5), что
V2Zit = -16яГ°, V2Kn = -I ^Toh-
поэтому в случае волн в пустом пространстве Zir и hoh должны обращаться в нуль.
§ 35.4. Поперечная калибровка со следом, равным нулю 169
Дополнение 35.1. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ «ПОПЕРЕЧНОЙ БЕССЛЕДОВОИ ЧАСТИ» ПОЛЯ ВОЛНЫ
1
Постановка задачи. Пусть в произвольной калибровке линеаризованной теории известна волна Iiliv (t, х3). Каким образом можно вычислить возмущения метрики
A^tv (t, ос1) в поперечной бесследовой калибровке?
Решение 1 (справедливое только для волн, т. е. когда DAtiv = 0)* Вычислим компоненты RjQk0 тензора Римана в первоначальной калибровке, затем проинтегрируем (35.10)
hjk, 00 = — ZRjOhO' (1)
чтобы получить Jijk . Если волна монохроматическая, Jiixv = Jiliv (xf) e~iat, торошение уравнения (1) имеет простой вид
hjk = 2(0 2Rjoko- (2)
Решение 2 (справедливое только для плоских волн). Получим поперечные-бесследовые компоненты обычным алгебраическим способом, воспользовавшись-оператором
Pjk S jk Tijiik. (3)
Здесь
nh = Kt\ * I
есть единичный вектор в1 направлении распространения волны. Убедимся, что Pjk является оператором проекции на поперечную плоскость:
^j I?P{h~~Pjhi PjhnH = 0, Pkk = 2.
Тогда поперечная часть Jijh есть PjgmPmh (или в матричных обозначениях PJiP) и ТТ-часть равна этой величине минус ее след:
J1Jh =Pj (Pmhh?т—у Pjh (Pfl)1 fm) (4)’
(индексные обозначения),
Arr =PhP--Jr P Sp (Ph) (4')
(матричные обозначения). Последовательность операций, дающая A^r, отделяет от hjj две части. Первая пз этих частей
hjh = у Pjk (Р(mh i’m) (¦')
является поперечной, но при построении этой части используется ее собственный
след
AT - Sp (PhP) = Sp (Ph) = PeJimf.
Вторая отброшенная часть А,;- является продольной hjk hjk PjfPmhhfm =
= TigYikhjf -j- Tijiifhfk HjTijj (пfnmfifт), ?6),
I
170 35. Распространение гравитационных волн
ИЛИ
Zil = Zi — PhP. (6')
Решение 3 (общий случай). Совершим фурье-преобразование произвольной
•симметричной матрицы htj = j Hij (к, t) exp (ikmxm) dsk и к каждой отдельной
фурье-компоненте применим формулу (4) из решения 2. Ho заметим, что в этом случае можно записать оператор проекции в форме, не зависящей от направления:
Pih = &jh-у2~ (7)
или
ft {Чщ — "у2 д(8)
(при условии, что в формулах все h записываются с правой стороны), поскольку д f — їк{ под знаком интеграла при фурье-преобразовании. Конечно, операцию 1/V2 можно определить и другими методами — наряду] с фурье-преобразованием можно использовать, например, функцию Грина. (Величина гр == V-2/ закрепляется за решением уравнения Пуассона V2^ = /¦) Достоинством этого метода является его продуктивность в определенных аналитических расчетах (пример см. ниже).
