Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 35.2. ОБЗОР «ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ» В ВАКУУМЕ
Будем некоторое время придержиться идеализации, согласно которой гравитационные волны в нашей Вселенной распространяются в плоском пространстве-времени (локальная точка зрения). Тогда их можно исследовать с помощью «линеаризованной теории гравитации», с которой мы познакомились в гл. 18.
Линеаризованная теория, как мы помним, есть приближение общей теории относительности в случае слабого поля. В линеаризованной теории уравнения записываются и решаются так, как если бы пространство-время было плоским (точка зрения специальной теории относительности), но связь с экспериментом устанавливается с использованием формализма общей теории относительности для искривленного пространства.
Более конкретно линеаризованная теория описывает гравитацию с помощью симметричного тензорного поля ^fiv второго ранга. В обычной (лоренцевой или гильбертовой) калибровке это поле удовлетворяет следующим «калибровочным», или «вспомогательным» (координатным) условиям:
>“а = 0. (35.1а)
(Здесь, как и во всей линеаризованной теории, индексы тензора Zifiv поднимаются и опускаются с помощью метрики!Минковского г]а(3.) В этой калибровке уравнения распространения для гравитационного поля в вакууме представляют собой хорошо знакомые волновые уравнения
? [Anv = A11V. а“ =I0- (35.16)
Ha самом деле пространство-время в линеаризованной теории искривлено, хотя уравнения (35.1) выписываются и решаются так, как если бы искривление отсутствовало. Глобальные инерциаль-ные системы отсчета уравнений (35.1) являются лишь почти инер-циальными. Метрические компоненты в этих системах на самом деле таковы 1J:
___________ = Tiliv + Aliv -f О ([Afiv]2); (35.2а)
4) В более строгой трактовке по определению Vv=Shv-tIhvi и в уравнения поля входят малые поправки О (Ihliv]2):
RU = O (М. а), й?.,а=0([М2,аЭ).
И*
Линеаризованная
теория
гравитационных
волн:
1) условие лоренцевой калибровки
2) уравнение
распространения
волн
3) метрика
I
164 35. Распространение гравитационных воли
4)свобода выбора; остающаяся после калибровки
Монохроматическая плоская волна
а «возмущения метрики» Ziliv связаны с «гравитационным полем»
Zitiv соотношениями
Zljiv —: ~2 Л Zl^tv — Zljiv 2 ZlTljiv,
1т т 1
mi,,.,.
(35.26) Zi = Ziaa — — /і = — Zia“.
Метрика (35.2а) обычным для общей теории относительности образом определяет движение пробных частиц, распространение света и т. д.
Напомним, как получаются уравнения (35.1), которые определяют /Zjiv. Специальным выбором системы координат на Zimv накладываются вспомогательные условия Zi^i a = 0, и тогда эйнштейновские уравнения поля в вакууме сводятся к ? Zijiv = 0.
На самом деле, как было показано в дополнении 18.2, координаты линеаризованной теории не полностью фиксируются условиями ZijJia = 0. Оставшаяся неопределенность проявляется в дальнейших калибровочных вариациях (инфинитезимальных координатных преобразованиях) ^fi, которые удовлетворяют следующему ограничивающему их выбор условию:
= 0, (35.3а)
так чтобы продолжали выполняться условия (35.1а). Тогда координатное преобразование имеет вид
^hob = ^стар "Ь (35.36)
а калибровочная вариация есть
Едунов = Zljiv стар ^MfV "Ь 1IixlV^a1 а- (35.Зв)
Все это выводилось и обсуждалось в гл. 18.
§ 35.3. РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКИХ ВОЛН В ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ТЕОРИИ
Самым простым из всех решений линеаризованных уравнений Z^tv. a — h-t. а = 0 является решение для монохроматической плоской волны
Zijiv = SR [Alix exp (i/caxa)]. (35.4а)
Здесь ЗЇ [. . .] означает необходимость взятия действительной части выражения, стоящего в квадратных скобках; при этом Aiiv (амплитуда) и к(волновой вектор) являются константами, удовлетворяющими соотношениям
UJta = Q (к —нулевой вектор), (35.46)
AaJca = O (А ортогонально к) (35.4в)
^ 35.4. Поперечная калибровка со следом, равным нулю
165
I
!которые являются следствиями уравнений Zitiv, аа = 0 и а = О соответственно; см. ниже уравнение (35.10) для тензора кривизны, в котором заключается истинный физический смысл, связанный с волной]. Очевидно, это решение описывает волну с частотой
M = A;0 = (kl + Ц + к2г)У\ (35.5)
распространяющуюся со скоростью света в направлении (1/Л0) (кх, ку, кг).
На первый взгляд кажется, что амплитуда этой плоской волны Ativ имеет шесть независимых компонент (десять минус четыре константы, связанные с условием ортогональности A^kx = 0). Ho это утверждение не может быть верным! Читавшие курс 2 узнали из гл. 21, что гравитационное поле в общей теории относительности имеет две динамические степени свободы, а не шесть. В каком же месте наших рассуждений мы сбились с пути?
Мы были введены в заблуждение, забыв о произвольности, связанной со свободой выбора калибровки (35.3). Вектор, имеющий вид плоской волны
I11 — —iCv exp (ikaxa) (35.6)
с четырьмя произвольными постоянными Ctl, приводит к калибровочному преобразованию, которое может произвольным образом изменять четыре из шести независимых компонент Aliv. От этой произвольности мы избавились, выбрав конкретную калибровку.
