Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
V = t + г + 2Mln I г/2М - 1 |, отнесенную к падающим фотонам [(д/дг)^ е есть вектор, касательный мировым линиям фотонов].
2. В случае вращающейся черной дыры координаты Бойера — Линдквиста, которые являются обобщением шварцшильдовских координат, тоже сингулярны на горизонте. Чтобы упасть под горизонт, любой частице или фотону требуется бесконечное координатное время: t —>- оо при г —Tjr. Ho это не все. Увлечение инерциальных систем отсчета вблизи горизонта заставляет частицы и фотоны двигаться по орбите с Q = = d<j>ldt> 0. Следовательно, для падающей под горизонт частицы (г-> г+) точно так же как f —оо, так и ф —>- оо (бесконечное закручивание мировых линий вокруг горизонта).
3. Чтобы избавиться от координатной сингулярности, необходимо в окрестности горизонта совершить бесконечное сжатие координатного времени и бесконечное раскручивание. Это достигается в координатах Керра заменой t на нулевую координату V и ф — на раскрученную угловую координату ф:
dF= At + (г2 + а2) (dr/Д), йф=йф + а(6г/&).
Качественная картина горизонта, эргосферы и предела статичности (из работы [115]).
§ 33.2. Гравитационное и электромагнитное поля черной дыры 89
I
Обе новые координаты связаны с мировыми линиями специально выбранного семейства падающих фотонов; (д/дг)^ 0~ является полем векторов, касательных мировым линиям фотонов этого семейства (сжимающаяся главная нулевая конгруэнция; § 33.6).
Пространственно-временная диаграмма;
1. Пространственно - временная диаграмма в координатах Керра очень похожа на диаграмму Эддингтона — Финкелыптейна для шварцшильдовской геометрии. И в том и другом случаях поверхности постоянного V изображаются не горизонтальными плоскостями, а «направленными в прошлое световыми конусами» («поверхностями с наклоном 45°»), поскольку они образованы мировыми линиями движущихся внутрь фотонов. По этой же причине поверхности постоянного t= V — г изображаются горизонтальными плоскостями.
2. Главные различия между диаграммами Керра и Эддингтона — Финкелыптейна заключаются в следующем: а. Поскольку геометрия Керра — Ньюмана не является сферической, диаграмма Керра, на которой одна из вращательных степеней свободы не изображена, дает неполную информацию о геометрии. Диаграмму Керра, как правило, строят для экваториальной «плоскости» 0 = л/2,
б. Точно так же как горизонт тянет световые конусы внутрь, так и увлечение инерциальных систем отсчета наклоняет световые конусы в направлении
Диаграмма Керра для экваториального сечения (0 = п/2) пространства-времени «экстремальной керровской» черной дыры (Q = 0, а = М).
Вид сверху, показывающий зависимость форм» светового конуса от радиуса.
2
90 33. Черные дыры
увеличения ф при а > 0 иг = const, в. Направленная внутрь образующая светового конуса (drldV = —оо) не повернута в сторону увеличения <р: в координатах Бойера—Линдквиста поворот с умень-шением г имел бы место вследствие «увлечения систем отсчета», HO преобразование от координат Бойера — Линдквиста к координатам Керра раскручивает этот поворот.
3. Из формы световых конусов мы узнаем специфические свойства предела статичности и горизонта. На пределе статичности вертикальная мировая линия [г, 0, ф постоянны, (d/dV)r 0 ~ = (d/dt)r< е, <#> — касательный вектор] лежит на световом конусе. На горизонте световые конусы целиком наклонены внутрь, если не считать одной линии касания. Заметим, что для линии касания имеет место соотношение df/dV = a!(rl -f- a2) =/=0. Выходящие нулевые геодезические, образующие горизонт, тоже закручиваются вокруг горизонта; это еще одно проявление увлечения инерциальных систем отсчета.
4. Диаграмма Керра, так же как и диаграмма Эддингтона — Финкель-штейна, правильно и без сингулярностей описывает падение с пересечением горизонта.
5. [Термин «диаграмма Керра» является не совсем правильным. Керр никогда таких диаграмм не опубликовывал, хотя в настоящее время строят подобные диаграммы, используя систему координат Керра. Первым такую диаграмму построил Пенроуз; он же больше других использует подобные диаграммы (см., например, [109]). Ho имя Пенроуза носят диаграммы нескольких других типов, поэтому возникла бы путаница, если бы все диаграммы были названы его именем.
Ж. Максимальное аналитическое продолжение геометрии Керра — Ньюмана:
1. Когда мы абстрагируемся от всех источников геометрии Шварцшильда (гл. 31), мы обнаруживаем, что эта геометрия описывает расширяющийся, а затем вновь сжимающийся мост, который соединяет две различные вселенные. Ho к черным дырам имеет отношение лишь половина геометрии Шварцшильда (области I и II). Другая половина (области III и IV) полностью заменяется областью внутри звезды, коллапс которой приводит к черной дыре. Поскольку играет роль лишь часть геометрии Шварцшильда, сжимающаяся система координат Эддингтона — Финкелынтейна, хорошо описывающая области I и II и плохо — области III и IV, вполне применима в физике черных дыр.
. Аналогично, когда мы абстрагируемся от всех источников геометрии Керра — Ньюмана, мы обнаруживаем, что эта геометрия представляет такое большое и такое сложное пространственно-временное многообразие, какого нельзя было заранее ожидать. Это так называемое «максимальное аналитическое продолжение» геометрии Керра — Ньюмана было подробно исследовано Бойером и Линдквистом [101], а также Картером [HO, 111]. Ho к вопросу о черных дырах оно не имеет никакого отношения по двум причинам. Во-первых, большую часть многообразия
