Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
5. Излучение возможно при / ^«и только при 4 > s (скалярные волны могут иметь любую мультипольность, электромагнитные волны должны быть дипольними или обладать более высокой мультипольностью, гравитационные волны — квадрупольными или обладать более высокой мультипольностью, см. § 36.2).
6. Теорема Прайса утверждает, что в случае почти сферического коллапса звезды, при котором образуется черная дыра, все, что может излучаться (все мультиполя с / ^s), полностью излучается — частично «на бесконечность», частично «внутрь дыры» («что допустимо, то и обязательно»). Предельное поле полностью характеризуется сохраняющимися величинами (мультипольными моментами с / О).
7. Доказательство теоремы Прайса для скалярного поля см. в упражнении 32.10.
2
76 32. Гравитационный коллапс
Д. Обобщение на случай неклассических полей
Такое обобщение для случая нейтринного поля дано в работах Хартля [85, 861 и Тейтельбома [87, 88], а для случая пионного поля — в работах Бекенштейна [89, 90] и Тейтельбома [91].
Дополнение 32.3. ОДНОМЕРНЫЙ И ДВУМЕРНЫЙ КОЛЛАПС
А. Постановка вопроса
Должно ли вещество, для того чтобы образовать черную дыру (горизонт, из-под которого ничто не может выйти), быть сильно компактным во всех трех пространственных измерениях, так что все длины окружностей % ^ AnM (квазисфери-ческая компактность), или же достаточно компактности лишь в одном или двух измерениях?
Б. Ответ для одного измерения
Рассмотрим в качестве примера, который легко обобщить, гравитационный !коллапс пылевого сфероида (давление равно нулю). Допустим, что в начальный момент в мгновенном состоянии покоя сфероид можно считать чисто ньютоновским (г 2М), и пусть он слегка сплюснут у полюсов. Согласно ньютоновской теории, любой однородный невращающийся пылевой сфероид в ходе коллапса остается однородным, но если его деформировать, то деформации в ходе коллапса нарастают. (Подробности см., например, в работе [80].) Следовательно, интересующий нас сфероид схлопывается, образуя «блин» с бесконечной плотностью, но конечной массой на единицу площади поверхности. В конце этого процесса кинетическая энергия пылевых частиц и их потенциальная энергия по порядку величин равны
где M — масса сфероида, а — длина окружности «блина».
Следовательно, пока 98/2п 2М, характерные скорости коллапса остаются
много меньше скорости света, а гравитационная энергия много меньше, чем масса-энергия покоя. Это означает, что при ^/2п^> 2М ньютоновское рассмотрение является отличным приближением к общей теории относительности для всего процесса вплоть до последнего момента, когда образуется «блин». Таким образом, горизонт образоваться не может, гравитационные волны почти не излучаются, и вся история процесса в целом является чисто ньютоновской и крайне проста. Однако, поскольку момент образования «блина» не является сингулярностью пространства-времени (см. замечания в конце упражнения 32.8), эволюция может после этого продолжаться; по мере того как % сжимается, становясь меньше AnM, эволюция сильно усложняется и принимает ярко выраженный релятивистский характер (см. «сценарий коллапса, погони и стремительного погружения» на фиг. 24.3).
§ 32.7. Обзор проблемы реального гравитационного коллапса 77
В. Ответ для двумерного случая
Рассмотрим в качестве примера, обобщить который, правда, не так просто, гравитационный коллапс вытянутого пылевого сфероида, в начальный момент чисто ньютоновского. Такой сфероид коллапсирует, образуя при этом тонкую «нить» или «веретено» (см. [80]). Предположим, что, достигнув нитеобразного состояния, сфероид продолжает оставаться ньютоновским. В таком случае он имеет длину ¦?, массу на единицу длины X = Ж// 1 и быстро сжимающийся экваториальный
радиус R /. Впоследствии каждая отдельная часть нити коллапсирует по радиусу так, как если бы она была частью бесконечного цилиндра. (Мы не учитываем неустойчивости нити относительно разделения на отдельные «бусинки», см., например, [79, 92].) Только когда нить становится крайне тонкой, R ^ Лкр~ ~ / ехр (—1/4Я), скорость радиального коллапса приближается к скорости света, а гравитационная энергия — к энергии-массе покоя. На этой стадии релятивистские отклонения от ньютоновского коллапса начинают играть важную роль. Торн [72] и Морган и Торн [93] провели исследование релятивистских эффектов, используя в качестве идеализированной модели бесконечный цилиндр. Результаты сильно отличаются как от сферического случая, так и от случая блина. Кол-лапсирующий цилиндр излучает большой поток гравитационных волн, но они не могут остановить коллапс. Коллапс доходит до нитеобразной сингулярности, но никакого горизонта не образуется (нет черной дыры\).
Г. Возражение против такого ответа, ответ на возражение и гипотеза
Кто-нибудь может возразить, заметив, что, как в случае блина, так и в случае цилиндра, а особенно в случае блина, коллапс может быть остановлен и не достигнет конечной точки. По мере того как толщина блина стремится к нулю, вертикальное гравитационное притяжение остается конечным, в то время как градиент давления, обусловленный любым конечным давлением, стремится к бесконечности. Таким образом, давление останавливает коллапс. Впоследствии край блина сжимается до релятивистского режима $/2n ^ 2М. При коллапсе цилиндра, согласно ньютоновской теории, если давление и плотность связаны соотношением р pv, гравитационное ускорение ag и ускорение, обусловленное препятствующей коллапсу силой давления, ар изменяются по законам ag=—2X/R, ар ~ p~l(P/R)\~ pv-Следовательно, при у > 1 (наиболее реалистичный случай) давление останавливает коллапс, а при у <1 — нет. Справедливо ли это утверждение и после того, как коллапс вступит в релятивистскую область, никто пока не знает.
