Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
AF (х, у, 2) = у <(А*)2> V2F (х, у, г)»
Основная часть наблюдаемого сдвига Лэмба — Резерфорда энергии уровней AE = (AF (х, у, z)> обусловлена наложением усредненного возмущения на невозмущенное движение. Наоборот, наблюдение ожидаемого сдвига доказывает реальность существования вакуумных флуктуаций.
§ 43.4. ФЛУКТУАЦИИ ГЕОМЕТРИИ
Ни одно из замечательных достижений физики после второй мировой войны не является столь впечатляющим, как предсказание и подтверждение влияния вакуумных флуктуаций электромагнитного поля на движение электрона в атоме водорода (фиг. 43.3). Благодаря этому открытию уже невозможно пройти мимо эффектов, связанных с подобными флуктуациями, во всех других областях физики, не исключая и геометрию самого пространства-времени .
От нулевых флуктуаций единичного осциллятора к флуктуациям электромагнитного поля, а от них к геометродинамическим флуктуациям — вот естественный порядок продвижения.
Гармонический осциллятор в своем основном состоянии имеет амплитуду вероятности
ф (X) = (1/4 e-(m<o/2ft)*2 (43.23)
сместиться на расстояние х от своего естественного классического положения равновесия. В этом смысле о нем можно сказать, что
Флуктуации в случае осциллятора и в случае электромагнитного поля
2
456 43. Суперпространство: арена для динамики геометрии
он «резонирует» или «флуктуирует» между положениями в пространстве, которые охватывают область протяженностью
Ax ~ (Himсо)1/2. (43.24)
Электромагнитное поле можно представить себе как совокуп-
ность бесконечного числа независимых «полевых осцилляторов» с амплитудами ^1, |2, .... Когда максвелловское поле находится в состоянии с наименьшей энергией, амплитуда вероятности для первого осциллятора иметь амплитуду I1 и одновременно для второго осциллятора иметь амплитуду |2, для третьего — |3 и т. д. является произведением функций вида (43.23) по одной для каждого осциллятора. Если подходящим образом нормировать амплитуды для каждого осциллятора, то результирующее бесконечное произведение принимает вид
^(I1, I2, . . .) = Wexp [-(й+і; + • • .)]¦ (43.25)
Это выражение дает амплитуду вероятности г|з для конфигурации В(х, у, z) магнитного поля, которая описывается фурье-коэф-фициентами I1, ^2, . . . Однако при желании можно отказаться от какого-либо упоминания этих фурье-коэффициентов и записать (43.25) непосредственно через конфигурацию магнитного поля
[139]:
Ч> (В (х, у, z)) = jr exp ( - j j В%ІпХ2) d^ d^) ¦ (43-26)
Теперь мы уже не говорим об определенном магнитном поле; вместо этого мы говорим о вероятности той или иной конфигурации магнитного поля, даже в условиях, когда электромагнитное поле находится в основном состоянии, как это имеет место здесь. (Cm. [438], где приводится аналогичное выражение для функционала, соответствующего «основному состоянию» линеаризованного гравитационного поля.)
При этих условиях наиболее вероятной является конфигурация В (х, у, z) = 0. Для сравнения рассмотрим конфигурацию, когда магнитное поле равно нулю всюду, за исключением области размером L. Принимая, что, как всегда, выполняется условие div B = 0, допустим, что поле по порядку величины равно А В. Амплитуда вероятности этой конфигурации будет отличаться от амплитуды для нулевой конфигурации на фактор ехр (—/). Здесь величина I, входящая в экспоненту, по порядку величины равна (А5)2 LiIHc. Конфигурации, для которых I велико по сравнению с единицей, имеют пренебрежимо малую вероятность. Конфигурации, для которых I мало по сравнению с единицей, имеют практически ту же вероятность, что и нулевая конфигурация. В этом смысле можно сказать, что флуктуации магнитного поля в области размером L по порядку величины равны
А В (43.27)
§ 43.4. Флуктуации геометрии 457
2
Другими словами, поле «резонирует» между двумя конфигурациями с диапазоном изменения конфигураций, даваемым формулой (43.27). Более того, чем меньше рассматриваемая область пространства, тем больше значения магнитного поля, обладающие заметной вероятностью.
Еще один знакомый способ рассмотрения флуктуаций электромагнитного поля позволяет выяснить вопросы, относящиеся к геометродинамике. Рассмотрим измерительный прибор, одинаково реагирующий на магнитное поле во всех точках области размера L. Спрашивается, как будут воздействовать на прибор электромагнитные возмущения разных длин волн. Возмущения малой по сравнению с L длины волны создают силы, по-разному действующие на различные части прибора, которые почти полностью компенсируют друг друга. Наоборот, возмущение большой длины волны Я создает силы, имеющие всюду одно и то же направление, но эти силы слишком малы, чтобы произвести заметное действие. Поэтому поле, определяемое уравнением
/энергия электромагнитной \ /
I волны длины Я в области I I энергии одного кванта \ объема Я3 J \ длины волны Я
или
(43.28)
очень мало, если Я велико по сравнению с размером области L. Наибольший эффект возникает в том случае, когда длина волны возмущения сравнима с L. Такой способ рассуждений приводит от (43.28) непосредственно к обычной формуле для флуктуаций (43.27).
