Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Для полного анализа проблемы движения частиц в двумерном пространстве, рассмотренной методом Гамильтона — Якоби в дополнениях 25.3 и 25.4, требуется решение, содержащее два параметра, отличных и независимых друг от друга, энергия на единицу массы E и момент импульса на единицу массы L', в этом случае
S (г, 0, t; Е, Lj= —Et + LQ +
+ У [& - (1 - 2М/r) (I + ?V]1/2 Ті_Хміг) + 6 Z)¦ (43-20)
Здесь аддитивная фаза б (E, L) необходима в том случае, если нам нужно создать такие условия, чтобы частица достигала заданного значения г в определенный момент времени t и при определенном значении 0. Рассмотрим суперпозицию четырех амплитуд вероятности, как в (43.4), обладающих динамическими фазами S, заданными с помощью (43.20) и параметрами, которые принимают следующие четыре набора значений: (E, L), (E + ДЕ, L), (E, L + + AL) и (Е + AE, L + AL). Принцип конструктивной интерференции приводит к условиям
dS/dE = 0,
(43.21)
dS/dL = 0.
Точки пространства-времени (г, 0, t), удовлетворяющие этим условиям, назовем ДА-точками; они лежат на мировой линии. А точки, не удовлетворяющие этим условиям, назовем НЕТ-точ-ками.
Желаемое решение уравнения ЭГЯ (43.19) содержит не два параметра (плюс аддитивная фаза б, зависящая от этих двух параметров), а бесконечное множество таких параметров и даже континуум параметров. Поэтому параметры не следует обозначать как O1, а2, • • P1, P2 (параметры с дискретным индексом);
следует писать
а (и, V, г») и P (и, v, w)
(два параметра, «помеченные» тремя индексами и, v, w, принимающими непрерывный ряд значений). Что если мы случайно пропустим один из бесконечного числа параметров? Каким образом можно надеяться узнать, обладает ли на самом деле полнотой предполагаемое полное решение уравнения ЭГЯ? К счастью, Герлах дает процедуру проверки параметров на полноту.
2
454 43' Суперпространство: арена для динамики геометрии
Условие конструктивной интерференции дает классический «лист истории», нли пространство-время
Убедившись в полноте, Герлах идет дальше и показывает, что «лист истории в суперпространстве», или совокупность 3-геометрий, удовлетворяющих условиям конструктивной интерференции
совпадает с листом истории (или эквивалентной 4-геометрией), который дается десятью компонентами эйнштейновского закона геометродинамики.
От уравнения Гамильтона — Якоби в области элементарной механики один короткий шаг до соответствующего уравнения Шредингера; аналогично обстоит дело и в геометродинамике. Самый крупный вклад в исследование физического смысла и следствий этого «уравнения Эйнштейна — Шредингера» принадлежит Брайсу де Витту [425, 426]. Одним из самых интересных следствий является существование сохраняющегося тока в суперпространстве, аналогичного сохраняющемуся току
с которым мы сталкиваемся в волновом уравнении Клейна — Гордона для частиц с нулевым спином.
Неприятная особенность этого волнового уравнения Эйнштейна — Шредингера состоит в том, что оно содержит вторую производную; поэтому мы должны определять как амплитуду вероятности, так и обычную производную амплитуды вероятности на подходящей «супергиперповерхности» в суперпространстве, чтобы иметь возможность предсказать эволюцию этой функции состояния во всем суперпространстве. Один из способов избежать такой ситуации, которая представляет собой по крайней мере неудобство, а возможно, и реальную трудность, был предложен Лейтвайлером [435]: наложить естественное граничное условие, которое уменьшает число независимых решений от значения, характерного для уравнения второго порядка, до значения, характерного для уравнения первого порядка. Другой выход состоит в том, чтобы сформулировать динамику совершенно иначе, как это было предложено Кухаржем (см. гл. 21); при этом получается уравнение первого порядка по переменной, являющейся аналогом времени.
Изучение квантовой геометродинамики упрощается, если считать большую часть степеней свободы замороженными путем наложения высокой степени симметрии. Тогда остаются одна, две или три степени свободы (см. гл. 30 о космологии перемешанного мира) или даже бесконечное число степеней свободы, и мы приходим к вполне разрешимым задачам квантовой механики
Ь8 а (и, V, ш), р (и, v, w))
8а
8S ((3>jg; а(и, у, w), ft (и, v, w))
= 0,
0,
(43.22)
J\i
[436, 437].
§ 43.4. Флуктуации геометрии
455
2
ФИГ. 43.3.
Символическое представление движения электрона в атоме водорода под действием флуктуаций электрического поля в вакууме («вакуумные», или «нулевые» флуктуации, или флуктуации «основного состояния»). Электрическое поле, связанное с флуктуацией Ex (t) = j Ex (щ) е~ш йщ, складывается со статическим электрическим полем, создаваемым самим ядром. Дополнительное поле в наиболее простом приближении приводит к смещению
дж = j (elmсо2) Ехе~ш d<o. Среднее отклонение обращается в нуль, но
среднее квадратичное отклонение <(Ах)2) в нуль не обращается. Вследствие этого электрон испытывает действие эффективного атомного потенциала, который отличается от ожидаемого значения F (х, у, z) на величину
