Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, фиксируя метрику g'a (х, г/, z) на более ранней гиперповерхности, слегка или даже не слегка, изменим метрику на последующей гиперповерхности. Разрешим новую вариационную задачу и получим новое значение /adm- Следуя по этому пути дальше, для каждой новой gij получим новое значение І аші-Назовем определенный таким образом функционал от метрики IADM «главной функцией Гамильтона», или «действием», или «длиной динамического пути» 2) S (gij (х, г/, z)), «истории геометрии», связывающей две заданные 3-геометрии. Здесь и далее два штриха в gij опускаются, чтобы упростить обозначения. Из других разделов механики известно, что величина S (gij), определенная таким образом, если она существует, хотя и является частным
*) На самом деле S = *?adm = 16я5ИСтня = 16я (истинная длина динамического пути).
§ 43.3. Уравнение' Эйнштейна — Гамильтона — Якоби
451
2
решением, тем не менее всегда является решением уравнения Гамильтона—Якоби. Якоби мог искать более общие решения, но Гамильтон уже нашел одно!
Чтобы (43.7) было экстремально по отношению к вариациям отклонения N ъ к компонентам сдвига N1, необходимо (см. гл. 21), чтобы коэффициенты при этих четырех величинах обращались в нуль, так что
g~lj2 [4' (Sp п)2-Sp п2] + gi/2R = 0 (43.8)
И!
niJu = 0. (43.9)
В выражении для экстремального значения действия остается лишь первый член:
S (ё (х, У, Z)) = IXDM, экстр =
= И' WiOgijIdt) #х. (43.10)
J e'ij
Поэтому эффект малого изменения Sgii в 3-метрике на верхнем пределе интегрирования легко записать следующим образом:
6S= j Jiu (x,y,z,)8gtj(x,y,z)d3x. (43.11)
Язык «функциональных производных» (см., например, [431])
позволяет выразить это не через интеграл, а через производную:
= (43.12)
«Полевые импульсы» имеют простой смысл: они дают скорость изменения действия по отношению к непрерывному бесконечному множеству «полевых координат» gtj (х, у, z). (Здесь х, у, z, так же как і, 7, служат лишь в качестве индексов.)
Хотя кажется, что функция S зависит от всех шести метрических коэффициентов gtj в отдельности, фактически она зависит лишь от той комбинации коэффициентов gtj, которая тесно связана с 3-геометрией. Чтобы убедиться в этом, выразим конкретную 3-геометрию (3)& на одной локальной координатной области через один набор координат хр с помощью одного набора метрических коэффициентов gpq. Выразим вновь ту же 3-геометрию через координаты Xpf смещенные на малую величину ?р:
хр = Xp — |р.| (43.13)
Чтобы сохранилась та же 3-геометрия, т. е. чтобы расстояние ds от одной не зависящей от координат точки до другой осталось без изменения, метрические коэффициенты должны меняться следующим образом:
8pq = Spq “Ь ??1р- (43.14)
29*
Геометродинамический импульс как скорость изменения длины динамического пути по отношению к 3-геометрии на конечной гиперпо верхност и
Действие зависит от 3-геометрни, а не от отдельных метрических коэффициентов
2
452 43. Суперпрострапство: арена для динамики геометрии
Закон
распространения гребней волн в суперпростран •
ГГ Be
Пусть фазовая функция S (или в квантовой механике амплитуда вероятности гр) рассматривается как функционал от метриче ских коэффициентов gn (х), g12 (х), . . ., g33 (х). Вариации Sgpq (х) этих коэффициентов меняют фазовую функцию Гамильтона-Якоби и амплитуду вероятности на величины
6S = f (SSZbgpq) 8gpq dsx,
: (43.15)
&Jj = J (6ф/брд) 8gpq d3x
в согласии с обычным определением функциональной производной. Поэтому вариации координат приводят к вариациям длины динамического пути или фазы S
6S = j (8S/8gpq)(lPlq + 5g|P) d3x =
= -2 j (65/6gp,),,5^?. (43.16)
Эта вариация должна обращаться в нуль, если S зависит только от 3-геометрии и не зависит от координат, в которых выражается 3-геометрия; кроме того, она должна обращаться в нуль для произвольного выбора ?р. Из этого условия находим
(-жН,-0- <43Л7>
Аналогично находим три уравнения для самой волновой функции г|з, отличной от ее фазы SZh; получаем
(-Ж-) =0. (43.18)
' Sgpg /|5 '
Ho, согласно (43.12), (43.17) совпадает с (43.9). В этом смысле (43.9) просто подтверждает справедливость того, что мы и так уже знаем: классическая функция Гамильтона—Якоби S (так же как функции амплитуды вероятности тр в квантовой теории) зависит от 3-геометрии, но не зависит от отдельных метрических коэффициентов и от выбора координат.
Все динамическое содержание геометродинамики можно выразить одним остающимся уравнением (43.8), которое принимает вид
г1/![{?Р*-гл] 1^Г”?"+ё,1/2/г=0- (43Л9)
Это и есть уравнение Эйнштейна—Гамильтона—Якоби, которое в явном виде впервые ввел в литературу Перес [432], исходя из собственных ранних работ и работ других авторов по гамильтоновой формулировке геометродинамики. Это уравнение описывает распространение в суперпространстве фронтов постоянного S («гребней волн»).
§ 43.3. Уравнение Эйнштейна — Гамильтона — Якоби
453
Тот факт, что это единственное уравнение ЭГЯ (43.19) содержит столько же информации, сколько все десять компонент эйнштейновского уравнения поля, был продемонстрирован Герлахом [433]. Центральным пунктом в этом исследовании служит принцип конструктивной интерференции, и для правильного его рассмотрения необходимо прежде всего понятие полностью параметризованного решения уравнения ЭГЯ.