Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
АРЕНА ДЛЯ ДИНАМИКИ ГЕОМЕТРИИ
Путешественник. нет путей,
Пути создаются ходьбою.
АНТОНИО МАКАДО [420]
Эта глава целиком относится к курсу 2. В качестве подготовительного материала для ее изучения необходима гл. 21 (формализм начальных значений) и полезна также гл. 42 (исчисление Редже). Эта глава не обязательна в качестве подготовительного материала для последующих глав, но она будет полезна при чтении гл. 44 (заглядывая в будущее).
§ 43.1. РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ПРОСТРАНСТВОМ, СУПЕРПРОСТРАНСТВОМ И ПРОСТРАНСТВОМ-ВРЕМЕНЕМ
Суперпространство ([206], стр. 459) является ареной действия геометродинамики. Динамика эйнштейновской геометрии искривленного пространства протекает в суперпространстве, подобно тому как динамика частицы развертывается в пространстве-времени. В этой главе дается одна простая трактовка суперпространства; кроме того, дается некоторое представление об альтернативных трактовках, которые также находят свое применение. Здесь описывается классическая динамика геометрии в суперпространстве, выраженная через принцип Гамильтона — Якоби, приведенный в дополнениях 25.3 и 25.4. Ни одна из других трактовок механики неспособна на столь резкий скачок от классической динамики к квантовой. Таким образом, эта трактовка дает принцип [уравнение Эйнштейна — Гамильтона—Якоби (ЭГЯ)] распространения гребней воли в суперпространстве и позволяет найти то место, где гребни волн дают классический эквивалент конструктивной интерференции («образование огибающей»). Так находится путь эволюции 3-геометрии во времени, представленный в виде четкого тонкого «листа истории», который пересекает все суперпространство. Квантовый принцип заменяет детерминистическое рассмотрение размытым листом истории, обладающим
Суперпростран-
ство
является ареной действия геометродинамики
2
444 43. Суперпространство: арена для динамики геометрии
3-геонетрия
представляет
собой
динамический
объект
Конечномерное «урезанное суперпростраи-ОТ ВО»
конечной толщиной. Вследствие этого в геометрии имеют место квантовые флуктуации, которые играют главную роль при размерах порядка планковской длины L* = (HGIc3)1/2 = 1,6 • IO-33 см и меньше. Настоящий обзор упрощается тем, что в нем рассматривается лишь динамика искривленного пустого пространства. Когда присутствуют источники и их необходимо учитывать, следует добавлять дополнительные члены; здесь мы ограничиваемся лишь перечислением некоторых работ по этому вопросу.
Во всех труднейших исследованиях, проводившихся на протяжении полувека, чтобы добиться некоторого понимания динамики геометрии, как классической, так и квантовой, самый трудный пункт был одновременно и самым простым: объектом динамики является не пространство-время; этим объектом является пространство. Геометрическая конфигурация пространства меняется со временем. Ho все же изменяется пространство, трехмерное пространство (см. дополнение 43.1).
Пространство будет здесь рассматриваться как «замкнутое», или, на математическом языке, «компактное»; это обусловлено либо тем, что физика добавляет к эйнштейновским дифференциальным уравнениям второго порядка требование замкнутости как необходимое и подходящее граничное условие ([10, 421—424]; см. также § 21.12), либо тем, что это требование упрощает математический анализ вопроса, либо и той и другой причиной вместе.
Гладкую, замкнутую 3-геометрию можно аппроксимировать скелетной 3-геометрией, построенной из тетраэдров, как схематически показано на фиг. 43.1 (см. гл. 42 об исчислении Редже). Выберем 98 длин ребер в этом примере, чтобы определить все характерные черты геометрии, и фиксируем эти 98 длин ребер, задав положение одной точки в пространстве 98 измерений. Это 98-мерное многообразие, это «урезанное суперпространство», переходит в суперпространство ([206], стр. 453, 459, 463, 495) в идеализированной ситуации, когда плотность покрытия трассирующими точками неограниченно увеличивается. Более детальные математические описания суперпространства даются в работах [425—428].
Пусть точка, представляющая геометрию, перемещается от одного положения к соседнему в урезанном или полном суперпространстве. Тогда все длины ребер меняются, и 3-геометрия, представленная на фиг. 43.1, движется будто живая. Нельзя дать лучшей иллюстрации того, что имеют в виду, когда говорят о «динамике пространства».
Наряду с классической теорией термин «3-геометрия» имеет смысл и в квантовой геометродинамике. То же самое относится и к суперпространству. Ho с пространством-временем дело обстоит иначе. Зададим 3-геометрию и скорость ее изменения во времени. Обычно этого достаточно (см. гл. 21), чтобы установить всю временную эволюцию геометрии, другими словами, этого достаточно, чтобы определить полную четырехмерную геометрию прострлн-
§ 43.1. Пространство, суперпространство и пространство-время
ФИГ. 43.1.
Суперпространство в приближении симплексов. Слева вверху — пространство (изображенное двумерным, но фактически являющееся трехмерным). Справа вверху — пространство, аппроксимированное симплексами. Можно получить сколь угодно хорошее приближение путем увеличения числа симплексов. Кривизна в типичной точке определяется недостающим углом. Этот угол полностью определяется заданием длин ребер (L1, L2, . . ., Lss) симплексов, которые сходятся в этой точке. Если всего имеется 98 длин ребер в представлении геометрии с помощью симплексов, то эта геометрия полностью задается одной точкой в 98-мерном пространстве (нижний рисунок —«суперпространство»).
