Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
точками 2-геометрий помещаем непосредственно связующие звенья, такие, как fT5Sv; б) помещаем промежуточный слой «вспомогательных вершин», таких, как aLLfW.7V .... Каждая из этих вспомогательных вершин лежит приблизительно посередине между центром треугольника, расположенного «над» ней, и центром соответствующего треугольника «под» ней; в) соединяем каждую такую «вспомогательную» вершину с близлежащими вершинами, расположенными «над» ней, «под» ней и в одной с ней плоскости; г) задаем все длины ребер; д) после этого скелетная 3-геометрия между двумя 2-геометриями определена однозначно. Она составлена из следующих пяти типов тетраэдров: 1. «Сквозные блоки», такие, как ¦fPfP'cf,і (6 таких блоков соединяются друг с другом вдоль JiHF1', если ITj является нормальной вершиной, 5 — если S5 есть 5-кратная вершина, подобная вершине Jt, показанной на верхнем правом рисунке). 2. «Блоки, обращенные вниз», такие, как JtfSrFiJ . 3. «Нижние упаковочные блоки», такие, как ,T. 4 и 5. Соответ-
ствующие «блоки, обращенные вверх» и «верхние упаковочные блоки» (не показаны на рисунке). Число блоков каждого типа указано здесь приблизительно для двух предельных случаев 2-геометрии, состоящей а) из нормальной гексагональной решетки, неограниченно продолженной в плоскости, и б) из решетки, в которую
§ 42.6. Выбор длин ребер 439
2
входит минимальное число 5-кратных с условием замыкания в 2-сферу. вершин (вершин !типа •А), совместимое
2-геометрия верхней (пли нижней) поверхности Гексагональная система треугольников Двадцатигранник, составленный из треугольников
Топология бесконечная 2-плоскость 2-сфера
Вершины на верхней поверхности V 12
Характер этих вершин 6-кратные 5-кратные
Длины ребер на верхней поверхности 3V I-F=SO
Треугольники на верхней поверхности 2V 20
Число «вспомогательных вершин» 2V 20
Блоки, обращенные наружу 2V 20
Наружные упаковочные блоки 3V 30
Сквозные блоки GV 60
Внутренние упаковочные блоки ЗУ 30
Блоки, обращенные внутрь 2V 20
§ 42.6. ВЫБОР ДЛИН РЕБЕР
Мы рассмотрели структуру решетки 4-геометрии; теперь перейдем к другому вопросу — к вопросу о свободе, существующей в выборе длин ребер. Почему не сделать самый простой выбор, допустив, что все ребра являются световыми лучами? Ответ: потому, что 4-геометрия не была бы в этом случае вполне определена. Геометрия (а:^) отличается от геометрии X ga R (х^), хотя те же точки, которые соединены друг с другом световыми лучами в одной геометрии, соединены также световыми лучами в другой геометрии.
Если ни одно из ребер не является нулевым, то тем не менее естественно принять некоторые длины ребер пространственноподобными, а некоторые — времениподобными. Вследствие этого площадь треугольника А в одних случаях будет действительной, а в других — мнимой. В 3-пространстве параллелограмм (сдвоенный треугольник), натянутый на два вектора В и С, описывается вектором
2 A = BxC,
перпендикулярным двум векторам В ж С. Величина вектора Л определяется формулой
4Л2 = B2C2-(B-C)2.
Выбор длин ребер:
1) выбор некоторых ребер времениподобными, а других — пространственноподобными
Пусть В и G — две стороны треугольника в 4-пространстве. Тогда, как и в случае трех измерений, 2А является дуальным к бивектору,
2
440 42. Исчисление Редже
2) выбор оравня* иых временило-добных и про-отранственноподобных длин ребер
3) почему некоторые длины ребер следует выбирать произвольно
построенному из В и C- Другими словами, если В идет в ?-на-правлении и С — в z-направлении, то А является бивектором, лежащим в плоскости (х, у). Следовательно, его величину А следует рассматривать как действительное число. Поэтому правильная формула для площади А имеет вид (Тулио Редже)
4-А2 = (B-C)2-B2C2. (42.10)
Величина А действительна, если действителен недостающий угол б. Таким образом, произведение 46, имеющее важный геометрический смысл, также является действительным.
С другой стороны, если узел лежит на плоскости (х, у), то величина А является чисто мнимой. В этом случае пробный вектор, обнесенный по замкнутому пути, проходящему через те симплексы, которые примыкают к этому узлу, испытывает изменение лишь компонент z и t, т. е. он испытывает лоренцевский буст; при этом недостающий угол б чисто мнимый. Поэтому опять произведение AS является чисто действительной величиной.
Перейдем теперь от характера длин ребер к величинам этих длин. Желательно, чтобы элементарные строительные блоки давали представление о кривизне пространства в различных направлениях приблизительно в равной степени. Другими словами, желательно, чтобы не было ни длинных иглообразных строительных блоков, ни блинообразных тетраэдров и симплексов. Это естественное требование означает, что шаг «вперед» во времени должен быть сравним с шагами «в стороны» в пространстве. Сам факт, что возникла необходимость сформулировать подобное требование, выявляет одно обстоятельство, которое должно было быть очевидным и ранее: «уравнения узлов» (42.7)
S &hCtgQpjl = O, р = 1, 2, ... ,
узлы Ti, имеющие
