Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 3" -> 171

Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 3 — М.: Мир, 1977. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom31977.djvu
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 210 >> Следующая


2. Сферы. Альтернативный подход к «дроблению» 3-сферы начинается с введения на 3-сфере Северного и Южного полюсов, а также гиперсферического угла % (на первом полюсе Х = 0, на втором % = л, на экваторе % = л/2; см. дополнение 27.2). Пусть каждый двумерный слой лежит на поверхности постоянного % (некоторый интервал Л% укладывается в % целое число раз). Структуру этой 2-сферы следует рассматривать уже в виде скелета из элементарных треугольников («совершенно законченный геодезический купол Фуллера»). Поэтому число «граней», или треугольников F, число длин ребер E и число вершин V должны быть связаны соотношением Эйлера

Из этого соотношения следует, что не каждая из вершин может помещаться в центре шестиугольника (т. е. быть точкой схождения 6 треугольников). Если это так, то мы не удивимся, когда тщательное обследование геодезического купола обнаружит вершины, где встречается лишь 5 треугольников. Достаточно иметь 12 таких вершин с 5 треугольниками среди всех вершин с 6 треугольниками, чтобы удовлетворить требованиям, налагаемым соотношением Эйлера:

число, зависящее от топологии, или «эйлерова характеристика»

’)

(42.8)

п вершин с 5 треугольниками,

V — п вершин с 6 треугольниками

F = (V — n) (6/3) + п (5/3) треугольников,

E = (V — n(6/2) + n(5/2) ребер, (42.9)

V = (F—п) (6/6) + п вершин,

2 = F — E-\-V = п/6 эйлерова характеристика,

и = 12.
§ 42.5. Выбор структуры решетки 437

2

Среди всех фигур с треугольными гранями двадцатигранник является фигурой с минимальным числом граней, удовлетворяющим этому условию (исключительно вершины с 5 треугольниками!).

Если каждая 2-поверхность представляет собой совокупность вершин геодезического купола, то как соединить один купол со следующим, чтобы образовать жесткую скелетную 3-геометрию? Если бы купола были погружены в плоскую 3-геометрию, то вопрос о жесткости не возникал. Каждый купол был бы жестким уже сам по себе. Однако 3-геометрия не задана плоской. Лишь совершенно определенная скелетная структура пространства между 2-сферами придает им жесткость в рамках окружающей искривленной геометрии пространства. 1. Жесткость не может быть достигнута путем использования единственного звена, соединяющего каждую вершину на одной поверхности с соответствующей вершиной на следующей («подвижная структура»!). 2. Она не может быть получена смещением одной поверхности так, чтобы каждая из ее вершин помещалась примерно над центром треугольника на поверхности, расположенной «ниже». Во-первых, число вершин и число треугольников, как правило, не будут соответствовать друг другу. Во-вторых, даже когда такое соответствие есть, соединение вершины на поверхности, лежащей выше, с тремя вершинами лежащего ниже треугольника не придает структуре необходимую жесткость. Пространство в промежутке между поверхностями будет содержать некоторые тетраэдры, но оно не будет сплошь состоять из тетраэдров. 3. Естественный и вполне осуществимый подход к построению скелета 3-геометрии состоит в том, чтобы, соединяя каждую вершину на одной поверхности с соответствующей вершиной на следующей поверхности, наделять это соединение дополнительной структурой, которая придает жесткость 3-геометрии,— промежуточными вершинами и соединительными звеньями, как это иллюстрируется в дополнении 42.3.

Переходя от псстрсения скелета 3-геометрии к построению скелета 4-геометрии, естественно поступить аналогичным образом. 1. Используем тождественные наборы точек в двух 3-геометриях. 2. Связываем соответствующие точки друг с другом с по-мошью одиночных соединительных звеньев. 3. На полпути или приблизительно на полпути между двумя 3-геометриями размещаем дополнительный набор вершин. Каждая из этих вспомогательных Еершип является «дуальной» по отношению к центру тетраэдра в 3-гесметрии, расположенной непосредственно над этой вершиной. 4. Соединяем каждую вспомогательную вершину с вершинами тетраэдра, лежащего непосредственно над ней, и с теми другими вспомогательными вершинами, которые являются непосредственными ее соседями. 5. Идя по такому пути, получаем длины ребер, необходимые для разделения 4-геометрии на симплексы, каждый из которых имеет жестко определенные размеры.

в) четырехмерные структуры, построенные из трехмерных структур
438 42. IIсчисление Редже

2

Дополнение 42.3. СИНТЕЗ СКЕЛЕТНЫХ ГЕОМЕТРИЙ 113 СКЕЛЕТНЫХ ГЕОМЕТРИЙ БОЛЕЕ НИЗКОЙ РАЗМЕРНОСТИ

1. Одномерная структура как чередование точек її отрезков линий. 2. Двумерная структура а) «подвижная» (не допустима) и б) жесткая (углы треугольников полностью определяются заданием длин ребер). Когда эта структура продолжается так, как это показано на рисунке справа, в «нормальную» вершину входит 6 треугольников. Однако следует ввести по крайней мере две вершины с 5 треугольниками типа вершины Jt на рисунке, чтобы 2-геометрия могла замкнуться в 2-сферу.

3. Скелетная 3-геометрия получена путем заполнения промежутка между 2-геометрией ...Л$ . . . .1F-F'fi. . . %3) ... и аналогичной структурой . . .Jh'. . . . . . . . . f-'З)' . . . следующим образом: а) между соответствующими
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 210 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed