Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(по одному уравнению для длины каждого ребра внутри исследуемой области пространства-времени).
§ 42.5. ВЫБОР СТРУКТУРЫ РЕШЕТКИ
При практическом использовании исчисления Редже возникают два вопроса, и не ясно, получили ли они до сих пор разрешение, которое наиболее удобно для практических применений этого скелетного метода. Какого типа решетку использовать? Как лучше извлечь пользу из свободы, существующей в выборе длин ребер? Первый вопрос рассматривается в этом параграфе, а второй — в следующем.
Может показаться наиболее естественным использовать решетку, построенную из малых почти прямоугольных блоков, причем отклонение каждого из них от прямоуголыюстн обусловливается величиной и направлением локальной кривизны. Однако построенные таким образом блоки являются «подвижными». Можно было бы придать им жесткость, специально выбирая некоторые углы и длины ребер. Ho тогда мы потеряли бы четкость рецепта Редже: задавать длины ребер и только длины ребер, длину каждого ребра задавать свободно и независимо, чтобы определить геометрию. Кроме того, пришлось бы заттово выводить уравнение Редже, вводя новые уравнения для определения новых углов. Поэтому мы отбрасываем квазппрямоугельвик и заменяем его симплексом с 5*4/2 = 10 длинами ребер. Поступив так. мы придем к выводу, что даже в случае плоского пространства симплексы не могут иметь тождественные длины ребер. Двумерное плоское пространство может быть заполнено одинаковыми равносторонними треугольниками, но уже при трех измерениях заполнить сплошь все многообразие одинаковыми равносторонними тетраэдрами оказывается невозможно. Известно, что каждый атом углерода в алмазе соединяется со своими ближайшими соседями с помощью тетрагональных связей, но, немного подумав, мы увидим, что ячейка кристаллической решетки, отведенная под эточ атом, по своей форме далека от равностороннего тетраэдра.
§ 42.5. Выбор структуры решетки 435
2
По-видимому, естественным способом соединения строительных блоков является сиитез: сначала строим одномерные структуры, объединяем их в двумерные, те в свою очередь в трехмерные структуры и, наконец, трехмерные объединяем в окончательную четырехмерную структуру. Одномерная структура состоит из точек 1, 2, 3, . . ., разделенных линейными сегментами 12, 23, 34, .... Чтобы начать построение двумерной структуры, возьмем вторую одномерную структуру. Кажется естественным присвоить ее точкам обозначения 1', 2', 3' и т. д. Однако такой выбор обозначений означал бы поперечное соединение точек 1 и 1',
2 и 2' и т. д., подобно своеобразной лестнице. Тогда элементарными ячейками являлись бы квазипрямоуголышки. Они обладали бы «подвижностью», что следует исключить. Поэтому мы обозначим точки второй одномерной структуры I1/.,', 21I2', 3V2' и т. д. Это означает, что точку 2V2' мы соединяем с точками 2 и 3 исходной одномерной структуры и т. д. В конце концов мы получаем структуру, похожую на форму моста, абсолютно жесткую в рамках двух измерений, чего мы и добивались. Ta же конструкция, если ее продолжить, сплошь заполняет плоскость треугольниками. Теперь мы имеем простую стандартную двумерную структуру. Ошибочно было бы думать, что мы можем двигаться дальше и строить трехмерную структуру; ошибка заключается в неявном предположении, что правильной топологией обязательно является топология плоского пространства.
Допустим, например, что задача состоит в том, чтобьт определить эволюцию во времени 3-геометрии, имеющей топологию 3-сферы. Возможно, эта 3-сфера сильно деформирована по сравнению с идеальной длинноволновыми гравитационными волнами. Прежде всего возникает необходимость правильно расположить точки. Поэтому отложим пока какое-либо рассмотрение деформации геометрии (отличие длин ребер от идеального случая). Зададимся вопросом, как разделить идеально правильную 3-сферу на двумерные поверхности. При этом принимается, что каждая поверхность отделена от следующей некоторым расстоянием. Здесь сами собой напрашиваются два подхода, которые для краткости можно назвать «блоки» и «сферы».
1. Блоки. Обратим внимание на то, что 3-сфера допускает разложение на 5 тождественных тетраэдроподобных блоков (5 углов,
5 путей, по которым можно выйти из каждого из них). Зафиксируем один из этих «тетраэдров». Выберем один из углов в качестве вершины, а грань, проходящую через остальные три угла, — в качестве основания. Наделим это основание двумерной решеточной структурой, описанной выше. Введем множество дополнительных поверхностей, расположенных над основанием с одинаковыми промежутками вплоть до вершины. В каждом слое имеется меньше точек, чем в предыдущем. Тем самым разложение 3-геометрии внутри одного «тетраэдра» завершено. Однако остается нерешенным вопрос не только о том, как регулярным образом соединить
28*
3) построение
двумерных
структур
4) трехмерные структуры, построенные нз двумерных «методом блоков»
2
436 42. Исчисление Редже
5) построение трехмерных структур из двумерных «методом сфер»
эту слоистую структуру с соответствующей структурой В примы-кающем «тетраэдре», но и о том, возможно ли вообще подобное соединение. Тот же вопрос можно задать и по поводу двух других способов разбиения 3-сферы на тождественные «тетраэдры» ([418], особенно стр. 292—293: 16 тетраэдров, заданные 8 углами, или 600 тетраэдров, заданные 120 углами). Можно очень просто избежать этого вопроса о соединении структур, но ценой наложения верхнего предела на достижимую точность: для этого установленное число углов (5, 8 или 120) достаточно считать полным числом точек, которые будут использованы в построении скелета 3-геометрии (дальнейшего деления не требуется и не допускается). Если принять во внимание ограниченную емкость памяти любого компьютера, то намерение ограничиться 120 трассирующими точками в пробных вычислениях вряд ли покажется смешным!
