Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
37.10. Описание колебательных резонансных детекторов с помощью нормальных мод
Выведите все результаты для колебательных резонансных детекторов, которые приведены в дополнении 37.4. Образцом такого вывода служит рассмотрение идеализированного детектора, описанного в § 37.6. [Указания, а. Допустите, что на детектор воздействуют поляризованные волны, заданные уравнением (6) допол-
УПР АЖ НЕНИЯ
2
УПРАЖНЕНИЯ
268 37. Детектирование гравитационных волн
нения 37.4, и что этот детектор является радиационно доминиро-ванным (Екопе6 кТ). Покажите, что смещения 8х = | (ас, t) элементов массы детектора описываются выражением
1 = S вп (t) Un (х), (37.42а)
Tl
где зависящая от времени амплитуда тг-й моды удовлетворяет уравнению осциллятора, совершающего вынужденные колебания,
Bn + BJxn + иIBn = Rn (/), (37.426)
причем вынуждающий член, обусловленный кривизной, равен
Rn(t)= —j (Р/М) unxh d'x = (iODihejh)IM. (37.42в)
(Обозначения см. в дополнении 37.4.)
б. Разложите амплитуды колебания детектора и волны в интеграл Фурье
+ OO
Bn (() = (2п)-1/2 [ Bn (со) е~ i^dco, (37.42г)
ь/
— OO
+ OO
A(t) = (2n)~1/2 j А (со) е-i^dco (37.42д)
— OO
и разрешите уравнение движения (37.426), (37.42в), чтобы получить вблизи резонанса
- IГпри |ю±(0п I« OJrl. (37.42е)
l\ (=
I = \ (сила на единицу объема) ¦ (скорость) d3x dt.
/ J
в. Путем интегрирования вычислите полную энергию, отдаваемую детектору,
/отдаваемая^
\энергия
Тем самым получите
/энергия, отдаваемая\ \ г • • •
„ „ = -г (I(n)jkejk) \ -4 Bn dt.
\и-и нормальной моде/ 4 J
г. Примените теорему Парсеваля и выражение (37.42е), чтобы получить
/энергия, отдаваемая \ с
„ „ I= On (V) .Fv(V)^V, (37.43)
\ п-и нормальной моде / J
где On дается формулой (7а) дополнения 37.4, и (для —оо<со<С
<+ оо)
JFv (V) = . Fv (ш/2я) - 4 0)21 jI2- (37 -44)
§ 37.7. Р. д. детектор общего типа 269
2
д. Покажите, что jFv (v) — полная энергия на единицу частоты и на единицу площади, переносимая падающими на детектор волнами.
е. Путем соответствующих преобразований этого поперечного сечения получите все остальные поперечные сечения, приведенные в дополнении 37.4. Воспользуйтесь математическим аппаратом проекции и интегрирования «ТТ-частей», развитым в дополнении 35.1 и в упражнении 36.9.]
37.11. Спектр энергии, излучаемой источником
Выведите результаты, приведенные в последней части дополнения 37.4.
37.12. Угловое распределение излучения и поглощения
Элементарный осциллятор в виде гантели, показанный на фиг. 37.4, первоначально не возбужденный, обладает поперечным сечением поглощения неполяризованного гравитационного излучения, которое пропорционально sin4 0; если этот осциллятор возбудить, то он будет излучать с интенсивностью, также пропорциональной sin4 0 (гл. 36). Угловые распределения излучения и поглощения одинаковы. Любой другой детектор в виде гантели дает то же самое распределение с точностью до ориентации. Рассмотрите невращающийся осциллятор произвольной формы, который испытывает свободные колебания на одной невырожденной (и поэтому не вращательной) моде или возбуждается извне неполяризованным излучением.
а. Покажите, что угловое распределение излучения совпадает с угловым распределением поглощения. (Указание. Проведите сравнения, которые указаны в конце дополнения 37.4.)
б. Покажите, что если не считать трех эйлеровых углов, описывающих ориентацию в пространстве всего распределения в целом, и четвертого параметра, определяющего полную интенсивность, распределение излучения (тождественное распределению поглощения) фиксируется одним («пятым») параметром.
в. Постройте диаграммы распределения интенсивности для двух предельных значений этого параметра, а также для выбранных естественным образом промежуточных значений этого параметра, лежащих между двумя предельными.
г. Определите этот неизвестный параметр в терминах некоторой безразмерной комбинации главных моментов приведенного квадруполытого тензора.
37.13. Многомодовый детектор
Рассмотрите цилиндрическую болванку, длина которой намного превосходит ее диаметр. Основную моду колебаний болванки назовите «модой п — 1», а моду с п — 1 узлами в собственной функ-
УПРАЖНЕНИЯ
2
270 37. Детектирование гравитационных волн.
упражнения ции —«п-й модой». Покажите, что поперечное сечение захвата неполяризованных гравитационных волн на п-м резонансе, проинтегрированное по резонансной области и усредненное по направлениям, дается формулой [115]
j cr (v) dv ~ для четного «(нуль для нечетного п),
по и-му резонансу; /07 / сч
хаотическое
где V — скорость звука в болванке, выраженная в тех же единицах, что и скорость света с, a M — масса болванки (в геометрических единицах; при использовании обычных единиц правую часть нужно умножить на коэффициент пересчета Glc = 2,22-10"18 см2 X X Гц/г). Покажите, что для паииизшей моды веберовской болванки это выражение дает J о dv — 1,0-10-21 см2-Гц. В настоящее
время (1973 г.) многомодовые детекторы строятся Фэйрбенком и Гамильтоном, а также Дугласом и Тайсоном.
