Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2 массы] -
скорость каждой массы
сила, действующая на каждую массу
§ 37.6. Идеализированный р. д. детектор 263
2
Воспользуемся теоремой Парсеваля (одним из мощнейших методов математической физики!), чтобы заменить интеграл по времени интегралом по частоте:
/полная отдаваемая\ _____ „ „ „ ,
I =? (ML sin20cos2ср) х
\ энергия /
X (— со2Л"*) (— icof) дли.
Затем воспользуемся выражением (37.28) и перепишем эту формулу, выразив все через амплитуду волны:
/полная отдаваема я \
\ энергия /
+ OO
<37-29>
— OO
Первый множитель в этом выражении в точности равен поперечному сечению для монохроматической волны (37.18), выведенному в предыдущем параграфе. Второй множитель объясняется столь же просто: полная энергия, переносимая гравитационными волнами через единицу площади поверхности детектора, равна
JF (эрг/см2) = J T00^ «Й= J1JjrA* «Й =
[¦ со2 IА+ I2 , Г (о21А+ ]2 /0„ олч
= J = J —ir-dv (37-3°)
(снова теорема Парсеваля!). Следовательно, количество энергии, переносимой волнами, приходящееся на единичный интервал частот и на единицу площади, равно
[эрг/(см2 • Гц) ] =-^co2 |ij2 (37.31)
(если —оо <+оо, и удвоенная величина, если О <v <;
<+оо,— соглашение, которое мы принимаем для оставшейся части этой главы). Это п есть второй множитель в (37.29), умноженный на 2я.
Комбинируя уравнения (37.18), (37.29) и (37.31), находим
/полная отдаваемая\ г
= \ а (v) ^rV(v) dv. (37.32)
\энергия I J 4 '
Это полная энергия, отдаваемая детектору, независимо от спектра излучения и независимо от того, приходят ли волны в виде стационарного потока в течение длительного времени, или в виде короткого всплеска, или в любом другом виде. Это утверждение носит совершенно общий характер, пока детектор является радиационно домшгированным (Evme^ ^ кТ) при воздействии на него гравитационного излучения.
2) ответ: (отдаваемая энергпя) =
= Jff ^vdv
2
264 37. Детектирование гравитационных волн
Как можно измерить отдаваемую энергию
Каким образом экспериментатор может измерить полную энергию, отдаваемую детектору гравитационными волнами? Как правило, он не может измерить ее непосредственно, но он может измерить величину, равную этой энергии, а именно полную энергию, теряемую на внутреннее затухание, т. е. на «трение». Скорость потери энергии за счет трения равна -E1h0леб/т0, если энергия колебаний много больше, чем кТ (т. е. пока детектор является радиационно доминироваиным). Поэтому экспериментатор может измерить в общем случае
В частном случае волн, «воздействующих на детектор подобно удару молотка» (rGW = продолжительность действия волн т0), энергия колебаний «мгновенно» возбуждается от ~ кТ до пикового значения ?™леб кТ, а затем экспоненциально падает снова до ~кТ; таким образом, в случае волн, воздействующих на детектор подобно удару молотка,
ЕСЛИ НхЄ В Течение ДЛИтеЛЬНОГО ПерИОДа Времени (ТGW т0)
волны остаются стационарными со спектральным потоком
то энергия передается детектору с постоянной скоростью
для стационарного потока волн (tGw то)-
Выражения (37.32) и (37.35) лежат в основе применения понятия поперечного сечения к реальным ситуациям. Они применимы не только для поляризованного излучения, HO и для неполяризо-ванного, а также для излучения, приходящего со всех направлений, если используется соответствующее сечение [выражение
(37.20) или (37.21) вместо (37.18)]. Примеры таких применений см. в дополнении 37.3.
(37.33)
t
Pинтеграл по периоду времени,
[когда ?Колеб> кТ
энергия
полная отдаваемая
Fv = .PrJfGW [эрг/(см2-с-Гц)],
(dE/dt) = (полная отдаваемая энергия)/те^; тогда уравнение (37.32) можно переписать в виде
(37.35)
§ 37.7. Р. д. детектор общего типа 265
2
§ 37.7. РАДИАЦИОННО ДОМИНИРОВАННЫЙ ДЕТЕКТОР ОБЩЕГО ТИПА, ВОЗБУЖДАЕМЫЙ ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОТОКОМ ИЗЛУЧЕНИЯ
Поперечные сечения идеализированного детектора, состоящего из двух масс, соединенных пружинкой, могут быть записаны в иной форме, более изящной, чем формулы (37.18) — (37.21); эта форма записи используется во многих областях физики и справедлива вообще для любого колебательного резонансного детектора.
Введем «коэффициенты Эйнштейна Л», описывающие, с какой скоростью единица энергии детектора теряется на внутреннее затухание и на переизлучение гравитационных волн:
скорость внутренней диссипации энергии _ 1 дисс энергия колебаний детектора Ч ’ '
скорость переизлучения энергии
Agw=-----------------------г---=------- • (37.366)
энергия колебании
Для идеализированного детектора, показанного на фиг. 37.4, обычная формула (36.1) для излучения гравитационных волн дает
32
переизлучаемая мощность = W6M2L2 (I2)cp. по вр ¦ (37.37) (см. упражнение 37.8). Следовательно,
Agw = -ті- ML2Oii. (37.38)
10
Можно воспользоваться этими соотношениями и выразить поперечные сечения детектора через Amcc, Agw и приведенную длину волны излучения
X = 1/а). (37.39)
Например, поперечное сечение (37.21) (теперь to ^ 0) принимает вид
