Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(-§“) = -йїо Jo*" = +Tailj+е~Іа?у
\ /за счет волн
имеют следующую составляющую вдоль осциллятора:
d4, _ X Cp-I , у JZy , 2 ^ J Le-iat ~2
dfl L dt2 ' L Clt2 ‘ Ij dfi 2 ‘+ L2
= —(OzJljrLe-ia~‘ sin2 0 cos 2ф.
Поэтому уравнение движения осциллятора имеет вид
| + ?/т0 + co„s = ¦—Y co2^+Le_iw< sin2 0 cos 2ср. (37.15)
Вынуждающая сила зависит от угла ср как cos 2ср, поскольку гравитационные волны по своей природе обладают «спином 2» (вращение на 180° в поперечной плоскости оставляет волну без изменений, вращение на 90° изменяет знак фазы). Множитель sin2 0 получается в результате поперечности гравитационных волн (один множитель sin 0 учитывает проекцию на направление детектора) и приливного характера сил, создаваемых волнами [другой множитель sin 0 учитывает, что (относительная сила) ~ (расстояние в поперечной плоскости)].
Простое стационарное решение уравнения движения (37.15) имеет вид
t lhaP*t+L sin2 0 cos 2фе_і(0^ (37.16)
(О2—COq -j- ІСО/Tq
Когда падающие на детектор волны находятся почти в резонансе с детектором I со ± Co0 I 1/т0, осциллятор возбуждается до значительной амплитуды. В противном случае возбуждение мало. В дальнейшем мы сосредоточим внимание на почти резонансном возбуждении. Тогда выражение (37.16) можно упростить (заметим, что со0 положительно, но со может быть как положительным, так и отрицательным):
t _ 1Aco0-^L sin2 0 cos 2Ф с_./Л? (37 16')
- I CB I — CO0+V2 sign (CO) І/Т0 ¦ V • ;
Одним из показателей эффективности детектора является его поперечное сечение для поглощения энергии гравитационных волн. Энергия стационарных колебаний детектора с указанной выше амплитудой и с двумя массами M равна
77 ° ^ Vi6AfL2CoJ,^? sin4 0 cos2 2ср
¦С'колеб ^ ‘ ~2 ' Ш ' IS Макс ( I со I — CO0)2 -|- (1 /2т0)2 ‘ ^ 1 >}
§ 37.5. Идеализированный р. д. детектор 259
2
Эта энергия диссипирует, превращаясь во внутреннюю энергию детектора, со скоростью Еколей/х0. Если не учитывать переизлуче-ние энергии снова в виде гравитационных волн (крайне слабый процесс!), то скорость диссипации можно приравнять скорости, с которой детектор поглощает энергию из приходящих волн, которая в свою очередь равна «поперечному сечению» а, умноженному на падающий поток:
?колеб/То = - dEBOW/dt = OTazicm = CTCD9V?!.
Следовательно, вблизи резонанса (| со ± O0 | со0) поперечное
сечение поглощения энергии гравитационных волн
2пМЬ2 (соа/то) sin4 0 cos2 2ср а =---(|"ю|— (^2 4-(1 /2т )2 для поляРизованного излучения.
(37.18)
Это выражение применимо к монохроматическому излучению. Однако по опыту работы с многими другими типами волн мы знаем, что часто приходится иметь дело с широким непрерывным спектром частот с «шириной полосы» падающего излучения намного большей, чем ширина резонанса детектора (см. дополнение 37.3). При этих условиях необходимо пользоваться не самим поперечным сечением, а «резонансным интегралом» от поперечного сечения
I ody= ^ о (с?со/2л) = 2л;МХ2со^sin40cos22ср'
резонанс
для поляризованного излучения. (37.19)
Прежде чем исследовать величину этого интегрального поперечного сечения, тщательно изучим зависимость этого сечения от направления («диаграмму направленности антенны»). Множитель sin4 0 cos2 2ф относится к линейно поляризованному излучению е+ (фиг. 37.4). Для ортогонально поляризованной моды excos2 2ср следует заменить на sin2 2ф, а для неполяризовапного излучения (некогерептпой смеси поляризаций) или для излучения с круговой поляризацией поперечное сечение представляет собой среднее этих двух выражений; таким образом,
лМЬ2 (о)|?/то) sin4 0 а = ~'(| /2т )2 для неполяРизованного излучения.
(37.20)
Отметим, что это поперечное сечение для неполяризованного излучения имеет пик с полушириной 33° вблизи экваториальной плоскости детектора. После усреднения по всем возможным направлениям прихода гравитационных волн это поперечное сечение
3) поперечные сечения для поляризованного излучения
4) поперечные сечения для неполяризованного излучения
17*
2
260 37. Детектирование гравитационных волн
Величина
поперечных
сечений для
произвольного
резонансного
детектора
Поток * необходимы» для возбуждения детектора веберовского типа
оказывается равным
Jt
(а)по всем направлениям — ^ Or Sill 0 dQ ~ СУмакс =
О
(8я/15) ML2 ((ой/то) /Q^oл\
= ¦¦¦ j^ ^)2 + (1/2тV для неполяРизованного излучения. (67.2,1)
Приведенные выше выражения для поперечных сечений можно переписать в нескольких других формах. Например, при резонансе поперечное сечение (37.21) записывается в виде
{<*)по всем направлениям = ^ 2п/щ
¦ (O)0To) (2L)2.
Напомним, что (O0T0 определяет Q детектора (1/() = доля энергии, диссипируемая за время изменения фазы колебания на один радиан). Заметим, что 2я/со0 есть длина волны резонансного излучения A0. Наконец, обозначим через rg = 4Л/ гравитационный радиус детектора. Находим следующую формулу для поперечного сечения, выраженного через эти хорошо знакомые величины:
/поперечное сечение поглощения\