Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
+ OO
Px= j (dpx/dz)dz,
-OO
считая pz постоянным. Для этого требуется обобщить уравнение движения (2) на случай нулевой массы покоя. Чтобы осуществить предельный переход т О, введем новый параметр X = т/m; тогда р* = т (dz^ldi) — dz^ldX. Введем также Pvl = (riuv + Kv)pv, поскольку эта величина простым образом входит в уравнение (2) и сводится к ри в пределе г-*- оо, где и нужно ее определить. Тогда уравнение (2) для любой массы т, включая т = 0, принимает вид
dP* 1
2
234 ?• Несовместимость теории тяготения и СТО
Поскольку feaP.n малы, в правую часть достаточно подставить р* в грубом приближении: р1 = рг = О, P0 = р3 = dz/dX = to = const. Таким образом,
— — (^oo + 2A03 + h33)ti to2
и
Для Солнца (8) следовательно, *—(?)
^oo—¦ h-зз—IM Ir, а A03— 0,
+ OO
Рз / конечное
=-(-) ={ \ Рз /конечное J
IMldz
2 M
+ OO
(Z2+z2)3/2
li + s2)3/2
(13)
В случае луча, касающегося края Солнца, I = Rq; откуда Аф = AMqIRq радиан г= 1 ",75, что совпадает с предсказанием общей теории относительности и согласуется с наблюдениями (см. дополнение 40.1).
Б. Гравитационные волны (упражнение 7.3, Е)
Уравнения поля (4) и условия калибровки (5) данной теории в плоском пространстве-времени совпадают с аналогичными уравнениями «линеаризованной теории» Эйнштейна. Таким образом, здесь применимо рассмотрение гравитационных воли, проведенное в рамках линеаризованной теории в § 18.2, 35.3 и 35.4.
Ж. Положительность энергии волн (упражнение 7.3, Ж)
Проводить выкладки с выражением для Ш общего вида (7.17) довольно утомительно, да и не обязательно. Достаточно лишь рассмотреть частный случай плоской волны [выражение (7.13)] или, что еще проще, плоской волны, у которой имеется лишь Aj2 -= A21 = / (z — I). Любую гравитационную волну можно представить в виде суперпозиции таких плоских волн. Сначала найдем лагранжиан для этого случая. Согласно выражению (7.8), он равен
Xi = (32л)-‘ [(A12i0)2 -(Л,,.,)2]-
§ 7.1. Попытки объединить теорию тяготения и СТО 235
2
Все содержание формулы (7.17), служащей определением SS, можно довольно точно выразить следующим образом: берем лагранжиан; сохраняем все члены, квадратичные относительно производных по времени; опускаем все члены, линейные относительно производных по времени; меняем знак у всех членов, не содержащих производных по времени. В результате получаем выражение
SS = (32я)-‘ [(A12t0)2 + (Л12,з)2], (14)
которое положительно.
3. Внутренняя противоречивость теории (упражнение 7.3, 3)
Из соотношения (7.10) находим
Функция б4 (х — Z) зависит только от разности х*1 — z•*; поэтому при дифференцировании 6-функции вместо Sldxv можно поставить — d/dzv. Замечая, что
переписываем Tlivtv в виде
TliviV = — т j z»* (d/dx) б4 [х — Z (т)] dx = + т j z»*64 [х — Z (т)] dx.
(Последнее выражение получено с помощью интегрирования по частям.) Таким образом, равенство T1t4viv = 0 выполняется в том и только в том случае, если
z** = 0. Ho условие Z** = 0 означает, что гравитационные поля не влияют на движение частицы. Однако это противоречит уравнению движения (2), которое вытекает из вариационного принципа теории. Таким образом, данная тензорная теория тяготения внутренне противоречива. (Если сформулировать кратко, то уравнение (4) требует Tlivt v = 0, тогда как уравнение (2) этого не допускает.)
Тот факт, что в данной теории гравитация не действует на гравитнрующие тела, справедлив и для тел с произвольным тензором энергии-импульса (например, резиновых мячей или Земли). Поскольку все тела являются источником тяготения, поскольку ИЗ уравнений ПОЛЯ следует TlllviV = 0 и поскольку из этого «уравнения движения для энергии-импульса» вытекает сохранение полного
4-импульса тела Zjtl= | Tlitl d3x, ни одно тело не может ускоряться под действием
гравитации. Солнце не может притягивать Землю, и она должна улететь в межзвездное пространство!
Попытки избавить данную теорию от этого противоречия без существенных усложнений неизбежно приводят к общей теории относительности (см. дополнение 17.2, п. 5). Приняв в качестве истинной теории тяготения общую теорию относительности, можно использовать данную теорию как приближение к ной («линеаризованная общая теория относительности», рассматриваемая в гл. 18, І9 и 35; в особенности см. обсуждение в конце § 18.3).
2
236 4' Несовместимость теории тяготения и СТО
Вывод
гравитационного
красного
смещения
из энергетических
соображений
§ 7.2. ВЫВОД ГРАВИТАЦИОННОГО КРАСНОГО СМЕЩЕНИЯ ИЗ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Эйнштейн утверждал, что не существует никакой идеальной прямолинейной системы отсчета, подобной той, которая вводится в ньютоновской теории. Он подчеркивал, что ни один объект в естественном состоянии движения — даже фотон — никогда не позволит доказать существование или определить положение таких идеальных прямых линий.
Исходя из закона сохранения энергии, примененного в рамках ньютоновской теории тяготения, Эйнштейн [49] показал, что гравитационное поле должно оказывать воздействие на фотон. Пусть частица с массой покоя т, в начальный момент покоившаяся в точке Л, свободно падает в гравитационном поле g вплоть до точки !%, отстоящей от Л на расстояние h. Она приобретает кинетическую энергию mgh. Ее полная энергия, включая массу покоя, становится равной
