Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
- (32лG) SXf = Ivp' - 2Р*Р,рбйцсЛ (3)
Используем затем это выражение в SIn0jm и, извлекая Shtiv из-под знака производной с помощью интегрирования по частям, получаем
SIbom = (32jtG)-‘ j [Fp>a,a6fevP-2Fp,p’a6^a] d^x.
Чтобы найти в этом выражении коэффициент при Shvcv, воспользуемся соотношением [вытекающим из (7.8в)]
Shafi = (SliOevp- TlapTillv) Shliv;
переставляя и переобозначая немые индексы (по которым производится суммирование), имеем
6/поля = (32itG)-‘ j [feuVa-2P“a'v + Tfv?“p,ap]Shiiv^x.
Складывая это выражение с б/взаимоДействия = ^ Г^бй^ dkx и используя симмет-
рию Shtiv = Shvii, получаем
_ pv a,a _ ap + p«a.v + jjva о>11 = (4)
Определение, данное в (7.12), позволяет нам переписать это соотношение в виде
Hmv(i,afi=l6nCT'lv. (4')
Б'. Калибровочная инвариантность (продолжение упражнения 7.3, Б)
Из соотношений симметрии
р _ ^[na][vp] _ ^yvPna
для Hliavp вытекает тождество
Hllavp afiv = Hm\a(fiv)= о,
аналогичное тождеству Filv,Vli = Ob электромагнетизме.
Таким образом, для источников требуется выполнение условия Tliviv = О, точно так же, как в электромагнетизме требуется выполнение условия Jiifli = О (упражнение 3.16). Эти тождества приводят к тому, что из уравнения поля (4') нельзя полностью определить h^. В частности, непосредственной подстановкой в уравнения (4) нетрудно убедиться, что к любому решению можно добавить калибровочное поле
^ калибровки_у ,у
'«’Hv — Sn, V “Г Sv, и* * **)
Ткалибровки__t it ta
nIiv —S|i,v ~г Sv,її rIiivS ,а»
не изменяя при этом Jiav.
2
232 7. Несовместимость теории тяготения и СТО
Пусть E11 обращаются в нуль вне некоторого конечного пространственно-временного объема, а в остальном произвольны. Тогда Ziliv и Ziliv = Ziliv + /^калибровки оба удовлетворяют уравнению источников (4) при одном и том же источнике r**v и одних и тех же граничных условиях на бесконечности. Естественно ожидать поэтому, что они физически эквивалентны.
Выбирая определенную калибровку аналогично «лоренцеву» выбору Aa,а = О в электромагнетизме [уравнение (3.58а), упражнение 3.17), налагаем условие
Fee = O. (6)
При этом уравнения поля (4) принимают простой вид
? Fv н PV0 = - Ienrliv (7)
(см. упражнение 18.2). Здесь и ниже мы полагаем G = 1 («геометрические единицы»).
В. Поле точечной массы (упражнение 7.3, В)
В случае статического источника волновое уравнение (7) сводится к уравнению Лапласа
V2Zinv= — ІбяГ^.
Тензор энергии-импульса для статической точечной массы [выражение (7.10)1 есть T00 = Mб3 (х) и Tflk = 0. Подставляем его в уравнение Лапласа, решая которое, находим Ziliv, а затем, использовав соотношение (7.8в), получаем Ziuv. В результате имеем
Ji00 = 2М/г, Ziofc = 0, hlh = 8ifc (2M/r) (8)
[см. уравнение (18.15а)].
Г. Прецессия перигелия (упражнение 7.3, Г)
Непосредственная подстановка потенциала (8) в уравнения движения (2) утомительна и мало чему может научить. Вариационные принципы именно потому и применяются в механике, что они упрощают подобные выкладки. Возвратимся к основному вариационному принципу б/ч+вз = 0 (1) и подставим: в него потенциал (8) для Солнца. Перейдем к сферическим координатам, ориентированным таким образом, что орбита лежит в экваториальной плоскости (0 = я/2):
/,+B3=jLdT, (9)
L = \ т [ - (I - 2Mri) i* + (I + 2Mr-1) (г2 + г2^2)]. (10)
Из отсутствия явной зависимости L от t, ф и т заключаем, что должно существовать три интеграла движения: канонические импульсы
Pt = —ту = dL/dt
(это определение у) и
Рф = та = дЫдф
2
§ 7.1. Попытки объединить теорию тяготения и СТО 233
(это определение а) и гамильтониан
H = > (дЫдх*) — L,
который можно сделать равным —т/2 с помощью соответствующей нормировки параметра траектории т. Эти три интеграла движения позволяют найти уравнение
• • •
орбиты. Для этого 1) находим H = —т/2, выраженный через г, г, ф и f, 2) с по-
• •
мощью постоянных а и у исключаем t и ф\ 3) как и в ньютоновских задачах по нахождению орбиты, вводим и — Mlr и пишем
• •
du и Mt Mlt . г, \ *
^=т=-^=--{'+2и)п
4) с помощью написанного выражения для du/dф исключаем г из Н, а г выражаем через и; 5) разрешаем относительно йи/йф. В результате получаем
(wY+u2={y2-i+2u)JS- 1тШ] • <и>
Пренебрегая в этом уравнении третьей и более высокими степенями и = GMlc2r ~ ~ (1 — Vа), находим смещение перигелия. (Подробное описание этого метода
можно найти в упражнении 40.4, в котором у и а данного дополнения обозначены
через E и L, а у и р следует положить равными 1 и 0.) В результате получаем, что за один оборот перигелий смещается на
Дф = 8яMlr0 + О ([Mlr0]2). (12>
Это значение в 4/3 раза превышает значение, предсказываемое общей теорией относительности, и расходится с данными наблюдений Меркурия (см. дополнение 40.3).
Д. Отклонение луча света (упражнение 7.3, Д)
Угол отклонения луча света, проходящего мимо Солнца, из соображений размерности должен быть малым: Дф ~ MqIRq ~ 10“®; поэтому мы с самого начала делаем приближения, основанные на этой малости. На схеме траектории фотона в плоскости х, z видно, что при начальном движении, параллельном оси z, угол отклонения может быть выражен через конечный импульс: Дф = рх1рг- Найдем конечное значение рх с помощью интеграла по траектории
