Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
__ 1 <У
= j (7*8в)
/взаимодействия = "2" J ^v-v^ d^X. (7.9)
Здесь Tiiv — тензор энергии-импульса всего присутствующего вещества и всех полей, отличных от гравитационного. Для совокупности точечных частиц (используемых на протяжении всего этого упражнения)
Tliv(X)= ^ [x — z(T)]rfx. (7.10)
А. Получите уравнения движения частицы, варьируя г**(т)
В б ^/частицы +/взаимодействия) = 0. Полученный результат выразите
с помощью «поля силы тяготения»
TvaP = "2" (^va1 Э+^vP. a v)і (7-И)
полученного из тензорного гравитационного потенциала Auv = Hvti.
§ 7.1. Попытки объединить теорию тяготения и СТО 229
Б. Получите уравнения ПОЛЯ И8 6 (/поля + /взаимодействия) = 0; УПРАЖНЕНИЯ выразите их через
-Htlavfi =E PVp+FVv-FVp-^fVv- (7.12)
Рассмотрите калибровочную инвариантность и условие Hltal9 ~ 0.
В. Найдите тензорный гравитационный потенциал Солнца (считая его точечной массой) Aliv.
Г. Рассчитайте прецессию перигелия.
Д. Рассчитайте отклонение луча света.
Е. Рассмотрите гравитационную волну
Httv = Altv exp (IkaSfx). (7-13)
Какие условия накладывают уравнения поля? Условие калибровки
Face = O? (7.14)
Покажите, что с помощью дополнительных преобразований калибровки
Ajlv ^HV + 1(1, V+ Ev1 H' (7-15)
сохраняющих ограничение At40l0 = O1 можно наложить дополнительные условия
UaIayt = 0, Fce = 0, (7.16)
где иа — фиксированный времениподобный вектор. Достаточно рассмотреть лишь случай, который реализуется при подходящем выборе системы отсчета, где иа = (1; 0, 0, 0) и ка = (ю; 0, 0, ю).
Ж. Исходя из плотности гамильтониана
т = Awv (OXldhtiv) -X (7.17)
для поля, покажите, что плотность энергии волн, рассмотренных в пункте Е, положительна.
3. Найдите значение 7111% Для тензора энергии-импульса частиц Tllv, который входит в интеграл действия I. Равно ли Tltvv нулю (например, для Земли, движущейся по орбите вокруг Солнца)? Почему? Покажите, что объединенная система уравнений для полей и частиц, полученная из условия б/ = 0, не имеет решений.
Дополнение 7.1. ПОПЫТКА ОПИСАТЬ ГРАВИТАЦИЮ С ПОМОЩЬЮ ПОЛЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА В ПЛОСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ (РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЯ 7.3)
Попытки описать гравитацию в рамках специальной теории относительности естественно было бы начать с рассмотрения случаев, когда гравитационное поле является скалярным (упражнение 7.1), как в ньютоновской теории, или вектор-
2
230 7. Несовместимость теории тяготения и СТО
ним (упражнение 7.2) по аналогии с электромагнетизмом. И лишь удостоверившись в непригодности обеих теорий (например, отсутствие отклонения лучей света в них; отрицательная энергия волн в векторной теории), приходится обратиться к гравитационному потенциалу в виде симметричного тензора Zitiv -- hvil с большим числом индексов и более сложными выкладками.
Основы наиболее удовлетворительной из всех тензорных теорий тяготения в плоском пространстве-времени изложены в начале упражнения 7.3. Сделанный там выбор лагранжиана [выражения (7.8)] продиктован условиями, чтобы Jiliv было «лоренц-ковариантным полем со спином два и массой нуль». Смысл этих
условий и методы специальной теории относительности, с помощью которых
их можно перевести в совокупность уравнений поля, изложены в обычных пособиях по физике элементарных частиц и квантовой теории поля; см., например, 1119, 122, 1231. Фирц и Паули [124] впервые написали этот лагранжиан и исследовали вытекающую из него теорию. Выводы этой теории изложены ниже в виде решения упражнения 7.3.
А. Уравнение движения пробной частицы (упражнение 7.3, А)
Выполним интегрирование в уравнении (7.9), пользуясь тензором энергии-импульса частицы, задаваемым выражением (7.10); в результате получаем
I ^ *|l* V
•^ч+вз = ^частицы “Ь ^взаимодействия ~2 M J (1Iyv "Ь ^nv) 2 Z dx, (1)
где
z“ = dz^/dx.
Затем находим б/ч+вз и убеждаемся, что коэффициент при произвольной вариации траектории бг** равен нулю тогда и только тогда, когда
(d/dx) [(Tinv -f- Iillv) zv] —ЛаР, ^ZotZP = 0.
Переписываем это уравнение движения в виде
(%v + V) zV+ Tl**?20215 = 0- (2)
где TlietP определяются выражением (7.11).
Б. Уравнения поля (упражнение 7.3, Б)
Используем /щшя и /взаимодействия в виде, задаваемом выражениями (7.8) и (7.У); однако в целях более быстрого и менее запутанного вывода не будем привлекать обычных уравнений Эйлера — Лагранжа. Вместо этого прямо находим изменение bXj в первом порядке, обусловленное малой вариацией поля бAa в. Относительно второго члена в Xi можно сразу сказать (при соответствующем обозначении немых индексов), что варьирование каждого из множителей приведет к одному и тому же результату; следовательно, два слагаемых, образующихся при варьировании произведения, объединяются:
б(^“Р%) = 2Р%б^а“.
§ 7.1. Попытки объединить теорию тяготения и СТО 231
Подобный результат можно получить и для первого члена в Xf, если принять во внимание тождество a^v6**v = a^vft**v, которое имеет место для операции, определенной в (7.8); каждая сторона тождества равна —?-a*V&vv. Тогда