Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
6.6. Сопоставление хода часов и координатного времени в ускоренных координатах
Предположим, что в каждом узле решетки (E1', ?2', ?*') =Const локальной системы координат ускоренного наблюдателя находятся часы. Для простоты будем считать, что наблюдатель совершает гиперболическое движение. Исполь8уя выражение (6.18), покажите, что собственное время, измеренное по часам решетки, отличается от координатного времени в той точке решетки, где находятся часы:
dx/d?' = 1 + g?‘*.
(Вблизи наблюдателе, при ?1' <С g-1, это отличие, конечно, пре-. небрежимо мало.)
§ 6.6. Локальная система координат ускоренного наблюдателя 221
€.7. Ускорение точек решетки в ускоренных координатах
Допустим, что в каждой точке решетки локальных координат наблюдателя в состоянии гиперболического движения находится акселерометр. Найдите величину ускорения, которое покажет акселерометр в точке (I1', ?2', |3').
6.8. Наблюдатель с вращающейся тетрадой
Наблюдатель, движущийся вдоль произвольно ускоренной мировой линии, выбирает для своей ортонормированной тетрады
перенос, отличный от переноса Ферми — Уолкера: он допускает вращение тетрады. Антисимметричный тензор вращения Q, который входит в закон переноса, используемый наблюдателем,
dea'/dx = — Q • во- (6.19)
расщепляется на составляющую Ферми — Уолкера и составляющую,
соответствующую пространственному вращению:
?2**v = a**uv — a vU^ + иащеа
^ у Vv-/ (6.20)
Су sC
где — вектор, ортогональный 4-скорости и.
а. Наблюдатель выбирает в качестве своего временного базисного вектора 8о' = U. Покажите, что этот выбор не противоречит вакону переноса (6.19), (6.20).
б. Покажите, что поворот, описываемый Q?b, происходит в плоскости, перпендикулярной U и в>, т. е.
Qm-U = O, Qire-(I) = O. (6-21)
в. Предположим, что с ускоренным наблюдателем связана вторая ортонормированпая тетрада Oa', которая испытывает перенос Ферми — Уолкера. Покажите, что пространственные векторы его первой тетрады вращаются по отношению к пространственным векторам второй тетрады с угловой скоростью ю. Указание. Покажите, что в момент, когда тетрады совпадают (в трехмерных обозначениях, относящихся к 3-пространству, ортогональному мировой линии наблюдателя):
d (еу — ej-)/dx = о х еу . (6.22)
г. Используя для вращающейся тетрады то же правило, что и для тетрады Ферми — Уолкера уравнения (6.16)], наблюдатель вводит локальные координаты. Бозьмем событие & на мировой линии наблюдателя, положим в нем т = 0 и выберем первоначальную инерциальную систему, фигурирующую в (6.16), таким образом, чтобы 1) она сопутствовала ускоренному наблюдателю в й, 2) событие & служило ее началом и 3) ее оси совпадали с уско-
УПРАЖНЕНИЯ
222 6. Ускоренные наблюдатели
УПРАЖНЕНИЯ
ренными осями в fi. Покажите, что эти условия записываются в виде
Z^(O) = O, ва* (0) = ва. (6.23)
д. Покажите, что вблизи (8 уравнения (6.16) для вращающейся ускоренной системы координат сводятся к
(6 24)
Xі- Iу+4IS0']2+SihWt1 V+О (Г']3).
е. Через событие & пролетает частица, свободно движущаяся с обычной скоростью V, измеренной в инерциальной системе. Преобразовав ее прямую мировую ЛИНИЮ Xі — ViX0 к ускоренным вращающимся координатам, покажите, что ее координатная скорости и ускорение получаются при этом равными
(<#74°')»а = іЛ
(d^Vdfc0'1) Bfi= - aj - 2e,ft‘coV + 2i/W. (6.25)
,___________t ,______t ,_____J
ускорение ускорение релятивистская
инерции Кориолиса поправка к уско-
рению инерции
6.9* Прецессия Томаса
Рассмотрим вращающееся тело (гироскоп, электрон, ...), которое ускоряется под действием сил, приложенных к его центру масс. Такие силы не дают крутящего момента, поэтому они не изменяют вектор S собственного момента импульса тела, если исключить единственное вращение в плоскости U Д а, необходимое для сохранения ортогональности S и 4-скорости и. Выражаясь математическим языком, момент импульса тела переносится в соответствии с правилом переноса Ферми — Уолкера (в любой плоскости, отличной от и Д 1, вращение отсутствует):
dS/dx^ (и Да)-S. (6.26)
Этот закон переноса применим к вращающемуся электрону, движущемуся по круговой орбите радиуса г вокруг атомного ядра. Для наблюдателя из лабораторной системы электрон движется в плоскости х, у с постоянной угловой скоростью (О. В момент времени f = 0 электрон находится в х = г, у — 0, а его спин (в классическом рассмотрении) имеет компоненты
5° = 0, Sv = O, Sz = -Ift.
§ 6.6» Локальная система координат ускоренного наблюдателя 223
2
Найдите S* (t) — поведение спина в последующие моменты лабораторного времени. Ответ:
4
Sx = —jzr ft (COS Grf cos wyt + у sin (Of sin (O-Y*),
V 2
Sy = —y=- ft (sin (01 cos ayt—у COS (0* sin щt),
I 2 ! (6.27)
52 = -2-ft, 5°=—yj- hvysin(oyt,
v = (or, -у = (I — v2)-1/\
Перепишем зависящую от времени пространственную часть этих выражений в виде
Sx + iS* = [в-1 + j (і _ у) sin ((oYi) еШ]. (6.28)
У 2
Первый член описывает равномерное вращение в обратном направлении с угловой скоростью
