Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
duv-jdi =е а* = цм (a^uv) — аУ- (UvU4) = а*.
Этот результат представляет собой тождество, поскольку u-и =
= — 1 в и • а = 0.
Математическое описание вращения в пространстве* времена
2
Закон
Ферми - Уолкера переноса
«невращающейея тетрады» базисных векторов, перемещающихся с ускоренным ваблюдателем
218 6' Ускоренные наблюдатели
О векторе V, который подвергается действию указанного инфинитезимального преобразования Лоренца
dv^/dx =» (u**av —и?а*) Vvt (6.14)
говорят, что он испытывает «перенос Ферми — Уолкера» вдоль мировой линии наблюдателя. Естественная движущаяся система отсчета, связанная с ускоренным наблюдателем, состоит из четырех ортонормированных векторов, каждый из которых испытывает перенос Ферми — Уолкера вдоль мировой линии и одним из которых является во' = и (4-скорость наблюдателя). На практике перенос Ферми — Уолкера пространственных базисных векторов в у можно осуществить, связав их с гироскопами (см. дополнение 6.2 и упражнение 6.9).
§ 6.6. ЛОКАЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ УСКОРЕННОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ
Перейдем от этой движущейся, или «бесконечно малой», системы координат к «лолальной системе координат», покрывающей конечную область. В таких локальных координатах невозможно избежать всех тех проблем, с которыми пришлось столкнуться при «гиперболическом движении» (фиг. 6.1) и при «движении с коротким участком ускорения» (фиг. 6.2). Поэтому локальную систему координат следует ограничить областью в пределах расстояния g~l от наблюдателя, где эти проблемы не возникают. Фиг. 6.3 иллюстрирует построение локальных координат В любой за-
ФИГ. 6.3.
Построение пространственноподобных гиперплоскостей (штриховые прямые), ортогональных мировой линии (жирная кривая) ускоренной частицы в избранные моменты на этой мировой линии. Обратите внимание на пересечение гиперплоскостей иа расстоянии g-1 (т) (ускорение зависит от времени!) от мировой линии.
§ 6.6. Локальная система координат ускоренного наблюдателя 219
данный момент собственного времени т наблюдатель находится в определенном событии *(т) на своей мировой линии. Пусть г (т) — вектор, соединяющий начало первоначальной инерциальной системы отсчета с положением наблюдателя ?Р(х). В (т) наблюдатель располагает тремя пространственноподобными базисными векторами в!<(т), в2'(т), вз'(т). Точка «^(т) в совокупности с этими базисными векторами определяет пространственноподобную гиперплоскость. Произвольную точку этой гиперплоскости можно представить в виде
X = S1Vt(T) + |2*в2'(т) + I3V(T) + Z(T) =
= (вектор из начала первоначальной инерциальной системы). (6.15)
Здесь три числа играют роль эвклидовых координат на гиперплоскости. По мере течения собственного времени эта гиперплоскость перемещается вперед. Рано или поздно гиперплоскость пересечет событие <9*0, которому мы хотим приписать координаты. В качестве координат этого события зададим числа ?0' = т и ?*', определяемые из (6.15). Назовем эти четыре числа «координатами по отношению к ускоренному наблюдателю». Четыре координаты определяются из четырех уравнений
a:** = ^teft-(T)]11 + 2»* (т), (6.16)
в которых Xv- считаются известными, а координаты т, — неизвестными.
На некотором расстоянии от ускоренной мировой линии пространственноподобные гиперплоскости, взятые в последовательные моменты времени, вместо того, чтобы перемещаться вперед с ростом т, движутся в обратном направлении. На этом и на больших расстояниях, понятие «координат по отношению к ускоренному наблюдателю» становится неоднозначным, и от него следует отказаться. Чтобы определить это расстояние, заметим, что любой, достаточно короткий участок мировой линии можно аппроксимировать гиперболой («гиперболическим движением с ускорением g»), где зависящее от времени ускорение g (т) задается соотношением g* = а**ац.
Применим сформулированное выше общее правило к гиперболическому движению; в результате получим уравнения
S0 = GT1 + ^') sh
х' = (е-' + 11’)сЪ(еЪ0'),
^ t* (6Л7)
Xt = I .
Xi = Iz .
2
Иепоааомише
тетрады
для построения «локальной свете-мы координат ускоренного наблюдателя»
Локальная
система
координат
равномерно
ускоренного
наблюдателя
Поверхности постоянных значений 5°’ представляют собой гиперплоскости IftIx1 = th g?0*, показанные на фиг. 6.4. Подставляя выражения (6.І7) в формулу Минковского для линейного элемента,
2
220 б. Ускоренные наблюдатели
УПРАЖНЕНИЯ
ФИГ. 6.4.
Локальная система координат, связанная с наблюдателей, находящимся в состоянии гиперболического движения (жирная мировая линия). Локальная система координат становится неприемлемой при &1' меньших, чем —g"1.
получаем
d? = TllivArMarV= -(l + gi1')^0 )2 + ^1)2+^* )*+(<?3>.
(6.18)
Коэффициенты при dg**' d?v' в этом выражении не совпадают с обычными лоренцевыми компонентами метрики. И понятно почему: величины не образуют инерциальной системы координат. Однако в том месте, где расположен наблюдатель, |1' = 0, и коэффициенты приобретают обычный вид. Следовательно, эти «локальные координаты» аппроксимируют лоренцеву систему координат в непосредственной окрестности наблюдателя.
