Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4.7. Действие на расстоянии — следствие локального закона 163
2
и величиной параметра скорости а:
.,о 2 ExB
nth2а— ^_|_д2 •
Рассмотрите то же электромагнитное поле в системе ракеты, движущейся в направлении п с параметром скорости а (но не 2а; множитель 2 вошел потому, что поток энергии и плотность энергии представляют собой компоненты не вектора, а тензора). Используя формулы преобразования Лоренца (3.23) или каким-нибудь иным способом покажите, что в системе ракеты поток энергии равен нулю, откуда следует, что JEnB параллельны. Ось z всегда можно направить в направлении, общем для JE и В. Покажите, что при таком выборе ориентации F принимает вид
? = EZ dz/\ di + Bz Ax Д dy
(нужно только два косых произведения, чтобы представить локальное поле общего вида, «каноническое представление»; если справедливо в одной системе, то, следовательно, справедливо в любой системе).
4.2. Произвол в выборе 1-форм в каноническом представлении локального поля общего вида
Будем проводить рассмотрение в столь ограниченной окрестности, что изменением поля от точки к точке можно пренебречь. Запишем F в каноническом представлении вида
F = d j?i Д Aq1 + dpn Д dg11,
где Pa (А — I или II) и qA — скалярные функции точки в про-странстве-времени. Определим «каноническое преобразование» к новым скалярным функциям точки p-^nqA с помощью «уравнения преобразования»
P AAqA = AS+P1Aqji,
где «генерирующей функцией» S преобразования является произвольная функция qA и qA
AS = (dS/dqA) AqA+ (dS/dqA) AqA.
а. Получите выражения для обоих рА и обоих Pj через S,
приравняв по очереди коэффициенты при dq1, dq11, dq1, dq11 по обе стороны уравнения преобразования.
б. Используя эти выражения для рА и покажите, что
F = dpAAdgA и F = dp j Adg^, отличные по виду друг от друга, на самом деле являются выражениями для одной, и той же
2-формы через различные совокупности 1-форм.
11*
УПРАЖНЕНИЯ
164 4. Электромагнит иам и дифференциальны.е формы
4.3. Замкнутая, или безвихревая, 1-форма есть градиент
Покажите, что если задана 1-форма о, такая, что da = 0, то а может быть представлена в виде a = d/, где /— некоторый скаляр. 1-форму о называют «безвихревой», являющейся частным случаем 1-формы «без вращения» (представимой в виде a = hdf), которая изучается в следующем упражнении и которая в свою очередь есть более узкое понятие (см. фиг. 4.7), чем «1-форма с вращением» (непредставимая в виде a = Mf). Покажите также, что если ста есть компоненты разложения «безвихревой» 1-формы о по базисным 1-формам dя®, то выполняется соотношение Ст[а, р] = 0.
4.4« Каноническое выражение для 1-формы без вращения
В трехмерном пространстве твердое тело, вращающееся вокруг оси z с угловой скоростью со, имеет компоненты скорости Vy = = сох, Vx = — (ог/. Величина rot v = V X v имеет z-компоненту, равную 2(0, а остальные компоненты равны нулю. Таким образом, скалярное произведение v на rot v равно нулю:
= 0.
Этот факт обобщается и на случай четырехмерного пространства
vIa, P^v] = 0
и может быть выражен на языке, свободном от координат, как требование обращения в нуль некоторой 3-формы
dv Д V = 0.
Произвольная 1-форма у, удовлетворяющая этому условию, называется 1-формой «без вращения». Покажите, что 1-формами без вращения являются те и только те, которые могут быть представ-
V » hdf
^ ("без вращения")
ФИГ. 4.7.
Сравнение и противопоставление некоторых простых типов 1-форм.
§ 4,7. Действие на расстоянии — следствие локального вакона 165
2
левы в виде
V=Ad/,
где h и / — скалярные функции точки («теорема Фробениуса»).
4.5. Формы, обладающие полярными сингулярностями
Перечислите основные результаты, касающиеся представлений таких форм, например
Фі—j Д ^i +O1,
и укажите условия применимости каждого из них (смысл этого задания и ответ можно найти в работе [110]).
4.6. Поде осциллирующего диполя
Убедитесь, что выражения (4.23) и (4.24) для электромагнитного поля осциллирующего диполя удовлетворяют условию dF = 0 повсюду и условию d*F = 0 повсюду, за исключением начала координат.
4.7* Связь аппарата 2-форм с тензорным аппаратом
Это упражнение сформулировано в конце подписи к фиг. 4.1.
4.8. Кулоновское поле в экваториальной плоскости
На фиг. 4.5 показано пространственноподобное (t = const) сечение M для покоящегося точечного заряда. С помощью следующей серии рисунков убедитесь, что при наблюдении из движущейся лоренцевой системы линии электрического поля сжимаются в поперечном направлении: 1. Изобразите экваториальное (6 = = я/2, t, г, ф — переменные) сечение M = *F. 2. Нарисуйте различные пространственноподобные сечения получившейся геометрической структуры, соответствующие фиксированному значению временной координаты в различных лоренцевых системах. 3. Пересечению M = *F с каждым лоренцевым сечением дайте интерпретацию, аналогичную приведенной на фиг. 4.3.
4.9. Вычисление интегралов по поверхности
В дополнении 4.1 дано определение
интеграла р-формы а по р-поверхности P (A,1, . . ., Xp) в п-мерном пространстве. Исходя из него, обоснуйте следующее правило для вычислений (также приведенное в дополнении 4.1): 1) подставьте
