Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 58

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 180 >> Следующая


Дуальность плюс внешнее дифференцирование

Возьмем скаляр ф. Его градиент d^ есть 1-форма. Образуем дуальную ему 3-форму *d<?- Ее внешняя производная есть 4-форма d*d<?. Дуальным к ней объектом является скаляр Пф = —*d*d<?. Проделав соответствующие выкладки в индексных обозначениях, можно убедиться, что оператор ?, определенный таким образом, есть волновой оператор, т. е. в любой лоренцевой системе ?<? = ф,а,а = = - (д2ф/др) 4-V2<?.

Возьмем 1-форму А. Построим 2-форму F = dA. Образуем дуальную к ней

2-форму *F = *dA. Вычислим ее внешнюю производную, получив при этом

3-форму d*F (равную 4n*J в электромагнетизме). Дуальной к ней является

1-форма *d*F = *d*dA = Ап\ («волновое уравнение для электромагнитного

4-потенциала»). В индексных обозначениях это уравнение сводится к

F,xv’v = A4, f - Allt Vу’ = AnJtl.

(Волее подробно см. [102, 106]; см. также упражнение 3.17.)

§ 4.7. ДЕЙСТВИЕ НА РАССТОЯНИИ КАК СЛЕДСТВИЕ ЛОКАЛЬНОГО ЗАКОНА

В качестве инструмента в теории электромагнетизма дифференциальные формы обладают огромными возможностями, но, чтобы использовать их в полной мере, необходимо владеть и другими инструментами. Особенно важны методы, используемые при описании действия на расстоянии («функции Грина», «пронагаторы»).
§ 4.7. Действие на расстоянии—следствие локального закона 161

2

Более того, переход от максвелловских уравнений поля к электромагнитному действию на расстоянии во многом предвосхищает то, как эйнштейновские локальные уравнения воспроизводят (приближенно) закон Ньютона 1 /г2.

В плоском пространстве-времени выразим координаты частицы А в лоренцевой системе координат как функции ее собственного времени а:

а» = а» (a), ^ (a), а» (а). (4.32)

Дирак нашел удобное представление для распределения заряда и тока движущейся таким образом частицы с зарядом е в виде суперпозиции зарядов, которые возникают на мгновение («вспыхивают»), а затем исчезают и не существуют за пределами этого мгновения. Локализацию каждой такой вспышки в пространстве и времени можно записать в виде произведения четырех дираков-ских дельта-функций (см., например, [71, 72]):

S4 (ж*—а*) = 8 Ia;0—а° (a)J Sla:1—а1 (а)] б \хг—аг (а)] S I*3—а3 (а)].

(4.33)

Каждая функция Дирака б (х) («символическая функция»; «распределение»; «предел гауссовой функции ошибок» с бесконечно малой шириной, бесконечно высоким максимумом и равным единице интегралом) в отдельности 1) равна нулю при х Ф 0, а 2) интеграл от нее +00

равен I б (x)dx — 1. При таком описании вектор 4-тока частицы — 00

представляется в виде («суперпозиция вспышек»)

J* = е J б4 [a:v — а? (а)] а** (а) da.. (4.34)

4-ток (4.34) приводит к появлению электромагнитного поля F. Запишем его в виде F = dA, чтобы удовлетворить тождественно половине максвелловских уравнений (4F - IllIA ш 0):

<4-35)

В плоском пространстве остальные уравнения Максвелла (d*F = = 4n*J) принимают вид

SFu / T

ц*

или

S __«vet g2i4H ? J

«*•* дх* Л дх'дх*- »' { )

Мировая линия заряда как последовательность вспыхивающих на мгновение и гаснущих зарядов

11-01457
2

162 4. Электромагнетизм и дифференциальные формы

Воспользуемся тем произволом, который существует при выборе 4-потенциала Av, и потребуем выполнения условия

дх*

= 0

(4.37)

Уравнение

электромагнитных

волн

Решение

волнового

уравнения

(лоренцево условие калибровки, см. упражнение 3.17). Таким образом, получаем

OA11= — 4я/ц. (4.38)

Поскольку 4-ток есть суперпозиция «вспышек», действие (А) этого

4-тока можно выразить в виде суперпозиции воздействий E элементарных вспышек, т. е.

А* (х) = j Е[х — а (а)] ац (а) da,

(4.39)

где «элементарное воздействие» E («ядро», «функция Грина») удовлетворяет уравнению

? E (х) = — 4я64 (х). (4.40)

Одним из решений является «полуопережающий плюс полузапазды-

вающии потенциал»

E (х) = 6 (т]араЛгЭ).

(4.41)

Он равен нулю всюду, кроме направленных в будущее и в прошлое световых конусов, в которых он постоянен. Обычно более полезным оказывается запаздывающее решение

f 2E (х), если х° >¦ 0,

*<Н О, если *"<0, <4-42>

которое получается при удвоении (4.41) в световом конусе будущего и обращении в нуль в световом конусе прошлого. Вся электродинамика (сила Кулона, закон Ампера, электромагнитная индукция, излучение) вытекает из простого выражения (4.39) для векторного потенциала (см., например, [89, 90], а также [109]).

упражнения 4.1. Простейшая форма локального электромагнитного поля в общем случае

В лабораторной лоренцевой системе электрическое поле равно JE, а магнитное поле равно В. Частными случаями являются: 1) чисто электрическое поле (В — 0), 2) чисто магнитное поле (JE = 0) и 3) «поле излучения», или «нулевое поле» (JEnB равны по величине и направлены перпендикулярно друг другу). Все случаи, отличные от этих трех, являются «общими». Вычислите в общем случае плотность потока энергии JE X В/4л (вектор Пойнтинга) и плотность энергии (JE2 + В2)/8я. С помощью отношения потока энергии к плотности энергии задайтесь направлением единичного вектора то
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed