Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Дуальность плюс внешнее дифференцирование
Возьмем скаляр ф. Его градиент d^ есть 1-форма. Образуем дуальную ему 3-форму *d<?- Ее внешняя производная есть 4-форма d*d<?. Дуальным к ней объектом является скаляр Пф = —*d*d<?. Проделав соответствующие выкладки в индексных обозначениях, можно убедиться, что оператор ?, определенный таким образом, есть волновой оператор, т. е. в любой лоренцевой системе ?<? = ф,а,а = = - (д2ф/др) 4-V2<?.
Возьмем 1-форму А. Построим 2-форму F = dA. Образуем дуальную к ней
2-форму *F = *dA. Вычислим ее внешнюю производную, получив при этом
3-форму d*F (равную 4n*J в электромагнетизме). Дуальной к ней является
1-форма *d*F = *d*dA = Ап\ («волновое уравнение для электромагнитного
4-потенциала»). В индексных обозначениях это уравнение сводится к
F,xv’v = A4, f - Allt Vу’ = AnJtl.
(Волее подробно см. [102, 106]; см. также упражнение 3.17.)
§ 4.7. ДЕЙСТВИЕ НА РАССТОЯНИИ КАК СЛЕДСТВИЕ ЛОКАЛЬНОГО ЗАКОНА
В качестве инструмента в теории электромагнетизма дифференциальные формы обладают огромными возможностями, но, чтобы использовать их в полной мере, необходимо владеть и другими инструментами. Особенно важны методы, используемые при описании действия на расстоянии («функции Грина», «пронагаторы»).
§ 4.7. Действие на расстоянии—следствие локального закона 161
2
Более того, переход от максвелловских уравнений поля к электромагнитному действию на расстоянии во многом предвосхищает то, как эйнштейновские локальные уравнения воспроизводят (приближенно) закон Ньютона 1 /г2.
В плоском пространстве-времени выразим координаты частицы А в лоренцевой системе координат как функции ее собственного времени а:
а» = а» (a), ^ (a), а» (а). (4.32)
Дирак нашел удобное представление для распределения заряда и тока движущейся таким образом частицы с зарядом е в виде суперпозиции зарядов, которые возникают на мгновение («вспыхивают»), а затем исчезают и не существуют за пределами этого мгновения. Локализацию каждой такой вспышки в пространстве и времени можно записать в виде произведения четырех дираков-ских дельта-функций (см., например, [71, 72]):
S4 (ж*—а*) = 8 Ia;0—а° (a)J Sla:1—а1 (а)] б \хг—аг (а)] S I*3—а3 (а)].
(4.33)
Каждая функция Дирака б (х) («символическая функция»; «распределение»; «предел гауссовой функции ошибок» с бесконечно малой шириной, бесконечно высоким максимумом и равным единице интегралом) в отдельности 1) равна нулю при х Ф 0, а 2) интеграл от нее +00
равен I б (x)dx — 1. При таком описании вектор 4-тока частицы — 00
представляется в виде («суперпозиция вспышек»)
J* = е J б4 [a:v — а? (а)] а** (а) da.. (4.34)
4-ток (4.34) приводит к появлению электромагнитного поля F. Запишем его в виде F = dA, чтобы удовлетворить тождественно половине максвелловских уравнений (4F - IllIA ш 0):
<4-35)
В плоском пространстве остальные уравнения Максвелла (d*F = = 4n*J) принимают вид
SFu / T
ц*
или
S __«vet g2i4H ? J
«*•* дх* Л дх'дх*- »' { )
Мировая линия заряда как последовательность вспыхивающих на мгновение и гаснущих зарядов
11-01457
2
162 4. Электромагнетизм и дифференциальные формы
Воспользуемся тем произволом, который существует при выборе 4-потенциала Av, и потребуем выполнения условия
дх*
= 0
(4.37)
Уравнение
электромагнитных
волн
Решение
волнового
уравнения
(лоренцево условие калибровки, см. упражнение 3.17). Таким образом, получаем
OA11= — 4я/ц. (4.38)
Поскольку 4-ток есть суперпозиция «вспышек», действие (А) этого
4-тока можно выразить в виде суперпозиции воздействий E элементарных вспышек, т. е.
А* (х) = j Е[х — а (а)] ац (а) da,
(4.39)
где «элементарное воздействие» E («ядро», «функция Грина») удовлетворяет уравнению
? E (х) = — 4я64 (х). (4.40)
Одним из решений является «полуопережающий плюс полузапазды-
вающии потенциал»
E (х) = 6 (т]араЛгЭ).
(4.41)
Он равен нулю всюду, кроме направленных в будущее и в прошлое световых конусов, в которых он постоянен. Обычно более полезным оказывается запаздывающее решение
f 2E (х), если х° >¦ 0,
*<Н О, если *"<0, <4-42>
которое получается при удвоении (4.41) в световом конусе будущего и обращении в нуль в световом конусе прошлого. Вся электродинамика (сила Кулона, закон Ампера, электромагнитная индукция, излучение) вытекает из простого выражения (4.39) для векторного потенциала (см., например, [89, 90], а также [109]).
упражнения 4.1. Простейшая форма локального электромагнитного поля в общем случае
В лабораторной лоренцевой системе электрическое поле равно JE, а магнитное поле равно В. Частными случаями являются: 1) чисто электрическое поле (В — 0), 2) чисто магнитное поле (JE = 0) и 3) «поле излучения», или «нулевое поле» (JEnB равны по величине и направлены перпендикулярно друг другу). Все случаи, отличные от этих трех, являются «общими». Вычислите в общем случае плотность потока энергии JE X В/4л (вектор Пойнтинга) и плотность энергии (JE2 + В2)/8я. С помощью отношения потока энергии к плотности энергии задайтесь направлением единичного вектора то