Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
От 0-формы к 1-форме, а затем к 2-форме? Нет!
Перейдем от скаляра /к 1 -форме Y = <1/. Однако следующий шаг к 2-форме а уже не имеет смысла.
Полное значение интеграла ^ у по пунктирному
замкнутому контуру автоматически обращается в нуль. Чтобы представить этот нулевой результат, нужна нулевая 2-форма. Таким образом, a = dy = dd/ должно быть нулевой 2-формой. Этот результат является частным примером общего результата dd = 0.
2
158 4. Электромагнетизм и дифференциальные формы
Общий случай 2-форны a =-i O^ixa Д dxp, где Oafi = — Ofia
От 2-формы к 3-форме JLt = dtr = —ix'f Д dx“ Д d^p,
Это также сотоподобная структура и также машина, производящая число (число трубок (а, и Д v >) из поверхности (и Д v), на которой указано направление обхода. Она является общей в том смысле, что сотоподобные структуры из одной окрестности, как правило, не зацепляются с такими же структурами из соседней окрестности. Вследствие этого замкнутую 2-поверхность, подобную поверхности в виде ящика, показанного на фигуре пунктиром, пересекает, как правило, не нулевое полное число трубок. Однако полное число трубок, выходящих из-под такой замкнутой поверхности, в точности равно нулю, если 2-форма есть внешняя производная 1-формы
да.
ex'*
где dxv Д ixa Д d*P = Sidriv & ixa ® dzfJ
Эта структура, подобная коробке для яиц, представляет собой машину, производящую число (число ячеек (fi, и Д V Д W)) из объема (объема U Д V Д w, в котором подсчитываются ячейки). На более полной схеме должна быть указана ориентация каждой ячейки и самого объема интегрирования (аналогично стрелкам, указывающим направление обхода в ячейках 2-формы). При подсчете числа ячеек вклад данной ячейки равен +1 или
— Ib зависимости оттого, совпадает ли ее ориентация с ориентацией объема интегрирования или они противоположны. Число ячеек «коробки для яиц», соответствующей /А = do, в любом заданном объеме (подобном тому, который показан пунктиром) в точности равно полному числу трубок 2-формы а (фигура выше), выходящих из этого объема (обобщенная теорема Стокса). В электромагнетизме внешняя производная 2-формы F дает нулевую 3-форму, а внешняя производная 2-формы *F = M дает 4л, умноженное на 3-форму заряда *J:
*J = pdx /\й у Д dz-
¦ Jx d* Д dу Д dz— Jy d? Д dz Д dX-J1 it /\йх /\ dу.
От 1-формы к 2-форме, а затем к 3-форме ? Нет!
Взяв 1-форму (электромагнитный 4-потенциал) и вычислив ее внешнюю производную, получим 2-форму F = dA. Трубки этой сотоподобной структуры нигде
§ 4.6• Внешняя производная и замкнутые формы 159
2
не оканчиваются, т. е. число окончаний трубок в каждом бесконечно малом объеме, а следовательно, и 3-форма dF = ddA автоматически обращаются в нуль. Это еще один пример общего результата dd = 0.
От 2-формы к 3-форме, а затем к 4-форме? Нет!
Взяв 2-форму *F и, вычислив ее внешнюю производную, получим 3-форму 4л*J. Ячейки этой структуры, подобной коробке для яиц, вытянуты вдоль четвертой координаты («гипертрубки»). Число таких гипертрубок, оканчивающихся в бесконечно малом объеме, а следовательно, и 4-форма
автоматически обращаются в нуль — еще один пример общего результата dd = 0. Этот результат гласит
Эта четырехмерная структура, подобная «суперкоробке для яиц», представляет собой машину, производящую число (число ячеек <т, П Д U Д V Д W)) из 4-объе-ма П Д и Д V Д W.
От 4-формы к 5-форме? Нет!
Пространство-время, будучи четырехмерным, не может вместить пятимерные структуры типа коробки для яиц. По крайней мере два из сомножителей da:*1 в
должны совпадать, откуда при учете антисимметрии Д следует, что эта «базисная 5-форма» должна обращаться в нуль.
Результаты внешнего дифференцирования
d (4яМ) = dd*F
(«закон сохранения заряда»). Примечание:
dx“ Д dxP Д № Д dx® = 4! dxf“ ® darP ® dxv ® dx®i. Отсюда следует df Д dz Д dy Д dz = e.
От 3-формы к 4-форме т =dv=—l^v 1 dxe Д da? Д dap Д da^
d** Д d®P Д da* Д dx® Д da?
I
d/
dd/=0
А
F = dA
dF = dd A ^ 0
•F
4n*J = d*F d(4n*J)=dd*FsO
3-форма
4-форма
5-форма?
Нет!
V
T= dv dt = 0
2
160 4. Электромагнетизм и дифференциальные форми
Новые формы, образованные ив старых с помощью операцни дуальности (см. упражнение 3.14)
Дуальной к скаляру / является 4-форма: */ = /dx° Д dx1 Д dx2 Д dx3 = /е. Дуальной к 1-форме J является 3-форма: M = J0 dx* Д dx2 Д dx3 — /1 dx2 Д dx3 Д Д dx° + Z2 dx3 Д dx° Д dx1 — /3 dx° Д dx1 Д dx2.
Дуальной к 2-форме F является 2-форма: *F = Fl0t^eaPilivIdxli Д dxv, где Fctp =
Дуальной к 3-форме К является 1-форма: *К = KolzAx3—Km dx° -f- К230 dx1 —
— Кш dx2, где Ka^y = т^т^тр*Ktll4X-
Дуальной к 4-форме L является скаляр: L=Loiasdx0Adx1Adx2Adx3; *L = = L0i2H= -L0I23-
Пр3имечание 1. Это понятие дуальности между формами следует отличать от понятия дуальности между векторным базисом 0а и базисом і-форм <оа данной системы координат. Между этими двумя типами дуальности нет ничего общего!
Примечание 2. В пространстве-времени операция дуальности, примененная дважды, снова приводит к первоначальной форме — для форм нечетного ранга и к первоначальной форме с обратным знаком — для форм четного ранга. В эвклидовом 3-пространстве всегда воспроизводится первоначальная форма независимо от ее ранга
