Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Тензор д — это линейная симметричная машина с двумя входными каналами для ввода векторов. Введя векторы и и V, на выходе д мы получаем их скалярное произведение:
д (uv) = u-v.
Б. Язык компонент
Компонентами метрики являются Titiv- Они используются для вычисления скалярного произведения двух векторов по их компонентам в некоторой лоренцевой системе:
u>v = TitivUV.
B. Геометрический язык, основанный на координатах
Метрику д можно записать через базисные 1-формы некоторой лоренцевой системы:
д = TllivCDli ® ©v = Tlttv йх* ® dxv
[см. уравнения (2.18) и (3.22)].
Г. Связь с простейшим понятием линейного элемента
В дополнении 2.3 продемонстрировано соответствие, существующее между градиентом функции d/ и простейшим понятием df дифференциального изменения / в некотором неуказанном направлении. Подобное же соответствие существует между метрикой, записанной в виде TiuVdjr** ® dzv и простейшим понятием «линейного элемента», записанного в виде ds2 = r\iivdxildxv. Этот простейший линейный элемент, как объясняется во многих пособиях по специальной теории относительности, представляет собой квадрат длины смещения dxв направлении, которое не конкретизируется. Ho тот же смысл имеет и метрика TiuvAz11 ® Ilxv. Возьмем
§ 3.3. Геометрическая точка зрения 117
I
определенный вектор бесконечно малого смещения I И введем его B TJllVdxtl <g) dxv, На выходе мы получим I2 = TjlivI11Iv, т. е. квадрат длины смещения. До введе-ния I метрика TjllVdxtl <8> dxv обладает потенциальной способностью давать квадрат длины любого вектора; после введения % эта потенциальная способность превращается в действительность — численное значение %2.
Поскольку метрика TjtlVdxtl <g) dxv и линейный элемент ds2 = Tj ц%,dx)xdxv выпол няют одну и ту же функцию, характеризуя квадрат длины бесконечно малого смещения в неконкретизированном направлении, с точки зрения общих представлений они полностью равнозначны. Для обозначения метрики иногда используют символы ds2; в целях экономии места часто пишут ds2 = Tjlivdx*1dav, опуская знак ®; иногда даже не пользуются жирным шрифтом, так что обозначения для метрики и линейного элемента полностью совпадают:
д = ds2 = ds2 = Tjuv dx* dxv.
§ 3.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ В СРАВНЕНИИ С ТОЧКОЙ ЗРЕНИЯ 3 +1
Геометрический подход в физике, развитый Эйнштейном, обладает огромными возможностями как с вычислительной точки зрения, так и с точки зрения трактовки основных понятий. Te идеи, которые кажутся сложными, если к ним подойти с повседневной точки зрения «пространство плюс время» (или «З + 1»), оказываются простыми и изящными, если к ним подойти как к соотношениям между геометрическими объектами в четырехмерном пространстве-времени. Результаты, которые трудно получить на языке 3 + 1» гораздо легче выводятся на геометрическом языке.
Хорошим примером является электромагнитное поле. На геометрическом языке оно описывается антисимметричным тензором второго ранга («2-формой») F, для определения которого не нужны координаты. Этот тензор позволяет найти значение 4-силы, действующей на каждую заряженную частицу,
dp/dx = ef (и).
Все так просто!
Теперь сравним это с точкой зрения 3 + I. В данной лоренцевой системе имеются электрическое поле E и магнитное поле В. Их воздействие на частицу описывается выражением
Огромные возможности геометрического подхода в физике
Пример из теории электромагнетизма
dp/dt = е (Е + V X В)\
Ho значения р, Е, v и В изменяются при переходе из данной лоренцевой системы в другую систему. Например, электрические и магнитные поля для наблюдателя, находящегося в ракете (система «с чертой»), выражаются через те же поля для лабора-
Закон
преобразования электрических н магнитных полей
ИЗ 3. Электромагнитное поле
торного наблюдателя (система «без черты») следующим образом:
Щ = Еп, Ij1 = -T-=L=- (E1 +PxBi),
Vl~P (3.23)
bII = bIIi В1 — Гу==г(В1 — $хЕ1).
(Здесь индексом Il помечены компоненты вдоль направления движения ракеты, а индексом J. — компоненты, перпендикулярные этому направлению; Pj = dx3p&KiTJ dt — обычная скорость ракеты.) Если к этому добавить еще аналогичные законы преобразования для импульса частицы р, ее обычной скорости V и временной координаты t, то лишь после этого выражение для силы Лоренца (как будто каким-то чудом, как кажется с точки зрения 3 + 1) окажется справедливым во всех системах отсчета.
Геометрический подход не только намного проще, чем подход с точки зрения 3 + 1, HO с его помощью и уравнения в виде 3 + 1 выводятся гораздо легче, чем в рамках самой точки зрения 3 + 1. Рассмотрим, например, закон преобразования (3.23) для электрического и магнитного полей. При использовании геометрического подхода он выводится следующим образом: 1) Направим оси двух систем отсчета так, чтобы они двигались друг относительно друга в направлении z. 2) Применим к компонентам тензора электромагнитного поля простое преобразование Лоренца (2.45):
En = Ez = Fro = Aa -3A%FаЭ = V2F30 + PW3 = (I - P2) V2F30 =
= F30 = Ez = Е\\, (3.24)
