Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Это тождество является определением компонент. Зная компоненты в определенной системе координат, легко вычислить число на выходе для любых входных 1-форм и векторов:
S (о, р, V) = S (OaCOa, Рз®р. yvev) =
= Oappl^S (юа. Юр, ev) = SapvOaPpyv. (3.13)
А зная компоненты S в одной лоренцевой системе (нештрихованной), можно, используя матрицы преобразования Лоренца
8-01457
Определение
тензора
как линейной
машины,
превращающей
векторы
и 1-формы
в числа
Компоненты
тензора
Действие тензорной машины, расписанное через компоненты
I
114 Электромагнитное поле
Преобразование
Лоренца
для компонент
Модификация тензора, в результате которой
в каждый входной канал можно вводить как векторы, так и і-формы
Поднятие и опускание индексов
Il А“ р Il и Il Ape- К, которые связывают эту систему с другой (штрихованной), вычислить компоненты S в другой (штрихованной) системе. Как показано в упражнении 3.2, для этого нужно лишь применить матрицу к каждому индексу S, расположив матричные индексы в соответствии с правилами
^'vV = SapvAOV7X (3.14)
Небольшое изменение внутреннего строения тензора позволяет вводить векторы во входные каналы, предназначенные для 1-форм. Для этого нужен лишь механизм, превращающий вводимый вектор п в соответствующую ему 1-форму п, которая затем вводится в соответствующий канал начального тензора. Таким образом, обозначив модифицированный тензор тем же символом S, который использовался для начального тензора, потребуем, чтобы
S (о, n, V) = S (о, n, V), (3.15)
или в компонентных обозначениях
S0VyOaWpI;? = Sa^yOaIiftV1/ (3.15')
Последнее легко достигается поднятием и опусканием индексов тензора S с помощью компонент метрики:
S\ = T1P^aV sa\ = T1^Sa3v (3.16)
(см. ниже упражнение 3.3). Используя один и тот же символ S как для начального, так и для модифицированного тензора, мы допускаем, что в каждый входной канал может вводиться как 1-форма, так и вектор. Поэтому мы не можем уже по виду символа S сказать, имеет ли тензор ранг или (gj;
мы можем указать лишь общий его ранг 3. Терминология: «верхние индексы» называются «контравариантными», а «нижние»— «ко-вариантными». Таким образом, у S“pv a — контравариантный индекс, тогда как P и Y — ковариантные индексы.
Поскольку тензоры представляют собой не что иное, как функции, их можно складывать (если у них один и тот же ранг!) її умножать на число обычным образом: после ввода векторов U, V, W на выходе тензора третьего ранга aS + i>Q получается
(aS + 6Q) (u, V, w) = aS (и, v, w) + i>Q (и, v, w). (3.17)
Ряд других важных операций над тензорами вводится в приведенных ниже упражнениях. Эти операции и другие результаты упражнений будут использоваться при дальнейшем изложении.
§ 3.2. Тензоры е самом общем виде 115
I
3.2. Закон преобразования компонент тензора
Используя законы преобразования компонент векторов и 1-форм, выведите закон преобразования (3.14).
3.3. Поднятие и опускание индексов
Выведите уравнения (3.16) из соотношения (3.15'), воспользовавшись выражением Па = TjaриР для компонент 1-формы п через компоненты соответствующего ей вектора П.
3.4. Тензорное произведение
Если заданы два вектора и и V, то тензор второго ранга u <8> V («тензорное произведение и на V») определяется как машина с двумя входными каналами, на выходе которой после введения 1-форм о и ^ получается число
(и <g> V) (о, Я,) = (о, и) (к, V). (3.18)
Покажите, что компонентами T = u <g> V являются произведения компонент и и у:
Tap = UaV Р, Tj = uavP, TaP = uai;fi. (3.19)
Распространите определение на случай нескольких векторов и форм (и ® V ® р ® w) (о, к, п, ?) = (а, и> (к, v> (Р, п) <?, w> (3.20)
и покажите, что и в этом случае выполняется правило произве-
дения для компонент:
S = U <?> V ® P ® W имеет компоненты
L t (3.21)
S X = uWfaufc.
3.5. Базисные тензоры
Покажите, что тензор M с компонентами Ma^y6 в данной лоренцевой системе можно восстановить по его компонентам и базисным 1-формам и векторам этой системы следующим образом:
M = MaPy6Bа ® вр <?> со7 <8> в(. (3.22)
(Частный случай этого представления обсуждается в дополне-
нии 3.2.)
3:6. Тензор F в действии
Наблюдатель с 4-скоростью и выбирает три направления в пространстве-времени, которые при наблюдении из его системы являются ортогональными и чисто пространственными (не содержат временной части). Пусть в|, Sg, е§ — правовинтовая тройка
УПРАЖНЕНИЯ
8*
I
116 3. Электромагнитное поле
упражнения единичных векторов вдоль этих направлений (в^ -eg X 63 = + 1 на трехмерном языке). Почему выполняются следующие соотношения:
еги = 0, в;-в( = «д?
Какие векторы нужно ввести в два входных канала тензора электромагнитного поля F, чтобы получить измеренное этим наблюдателем значение электрического поля вдоль Какие векторы нужно ввести, чтобы получить измеренное им значение магнитного поля в направлении е^?
Дополнение 3.2. МЕТРИКА IIA РАЗНЫХ ЯЗЫКАХ
A. Геометрический язык
