Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
3.1. УПРАЖНЕНИЕ
Выведите уравнения (3.5) и (3.7) для компонент F, сравнив (3.4) с (3.2а, б) п использовав определение (3.6).
Дополнение 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ И ПРЕДСКАЗАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПО ФОРМУЛЕ ЛОРЕНЦА
Процедура определения компонент электромагнитного поля по измеренным ускорениям в принципе совпадает с аналогичной процедурой для гравитационного поля. Сравним уравнения для двух случаев:
'^T2 =~ln в лоренцевой системе (1)
и
= — .RaPveUpEvW в произвольной системе координат. (2)
Разобрав более простую процедуру для электромагнитного поля, мы тем самым укажем в общих чертах, как в теории тяготения подобный же образом определяются
I
112 S. Электромагнитное поле
все компоненты Baрув. Начнем с вопроса о том, сколько нужно пробных частиц, чтобы определить в изучаемой окрестности три компоненты В и три компоненты Е. Можно измерить три компоненты ускорения для одной частицы, и еще три — для другой. Достаточно ли этого? Нет! Информация, полученная от первой частицы, частично дублируется в информации, полученной от второй. Вот доказательство. Как бы ни двигалась первая частица, выбираем лоренцеву систему, движущуюся точно так же. Покоящаяся в этой системе частица не реагирует на присутствие магнитного поля. На нее действует только электрическое поле. Три компоненты ускорения этой частицы сразу же дают три компоненты Ex, Ey, Ez электрического поля. Если мы хотим получить дополнительную информацию от второй пробной частицы, то она не должна покоиться. Направим ось х системы отсчета параллельно направлению движения второй частицы. Теперь на нее действуют компоненты магнитного поля Bv и В,, и мы можем их определить. Ho мы не можем определить Вх\ Измерив ускорение вдоль оси х, мы еще раз определим уже известное Ex. Для определения Bx необходима третья пробная частица, но при этом мы лишний раз получим уже известную информацию о других компонентах поля. Каков же выход? Используем одновременно на равных правах все N частиц как для определения шести компонент Fa в, так и для проверки формулы Лоренца, применив метод наименьших квадратов. Для этого запишем разность между предсказываемым и наблюдаемым ускорениями К-й частицы в виде
иак—‘-F^'K^ba*. (3)
Возведем эту разность в квадрат и просуммируем по всем частицам:
(4)
к
В этом выражении мы считаем известным все, кроме шести компонент Fafi. Минимизируя его по отношению к этим шести неизвестным, получаем шесть уравнений для компонент В и Е. Разрешив эти уравнения, возвращаемся к уравнению (3) и проверяем формулу Лоренца.
Если имеются только две пробные частицы, то детерминант 6x0 матрицы коэффициентов в уравнениях для Fab тождественно обращается в нуль. Аналогичные рассуждения позволяют определить минимальное число пробных частиц, необходимое для определения всех компонент риманова тензора кривизны.
§ 3.2. ТЕНЗОРЫ В САМОМ ОБЩЕМ ВИДЕ
Здесь необходимо сделать небольшое отступление. В ходе изложе-тен™ров ния мы ввели несколько различных тензоров: метрический тен-
зор g (§ 2.4), тензор кривизны Римана R (§ 1.6), тензор электромагнитного поля F (§ 3.1). Каждый из них был определен как липейная машина с входными каналами для векторов и выходными данными либо в виде вещественных чисел, например g(u, V), либо в виде векторов, например R (u, V, w) и F (и).
§ 3.2. Тензоры в самом общем виде ЦЗ
I
Нужно ли делать различие между теми тензорами, на выходе которых получаются скаляры, и теми, на выходе которых получаются векторы? Нет! Тензор с вектором на выходе можно легко представить в виде тензора, на выходе которого получается скаляр. Возьмем, например, F. Добавим к нему новый входной канал для ввода произвольной 1-формы о таким образом, чтобы на выходе получалось
F (а, и) = (а, F (и)) = вещественное число. (3.8)
Теперь можно выбирать: ввести ли вектор и получить на выходе другой вектор F (. . . , u) = F (и) или ввести 1-форму и вектор и получить на выходе число F (о, и). Одна и та же машина справится с обеими операциями. Более того, обе операции выполняются совсем просто, если их расписать через компоненты в данной лоренцевой системе:
F(..., и) = вектор с компонентами FapuP, ^
F (а, и) = число (о, F (..., и)> = OaFa^uP.
По аналогии можно дать определение тензора в самом общем виде: тензором H ранга ( * j называется линейная машипа с п входными
каналами для п 1-форм и с т. входными каналами для т векторов, после ввода которых на выходе получается вещественное число, обозначаемое
H(о, к, ..., P u, V, ...,Vi). (3.10)
'----у----' '----у----'
п 1-форм т векторов
Для большинства тензоров перестановка векторов на входе приводит к изменению числа на выходе:
R (о, u, V, w)^= R (о, V, u, w). (3.11)
То же самое относится и к перестановкам 1-форм на входе.
Рассмотрим некоторый тензор S и положим для определенности, что его ранг равен Введем в него базисные векторы
и базисные 1-формы определенной лоренцевой системы координат. Тогда на выходе получаются «компоненты S в этой системе»:
Sapv = S (ю“, ©Р, вт). (3.12)
