Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
I
В наш век электричества вращающийся якорь каждого генератора и каждого электромотора неустанно провозглашает справедливость теории относительности — нужно лишь уметь слушать.
Л. ПЭЙДЖ
§3.1. СИЛА ЛОРЕНЦА И ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Рассмотрим теперь случай плавного изменения импульса заряженной частицы под действием электрических и магнитных сил, противоположный обсуждавшемуся в конце гл. 2 процессу передачи импульса при соударениях.
Пусть на совокупность заряженных частиц действуют электрическое и магнитное поля. Ускорения частиц позволяют судить о силе электрического и магнитного полей. Другими словами, можно считать, что выражение для силы Лоренца в совокупности с измеренными компонентами ускорения пробных частиц позволяет определить компоненты электрического и магнитного полей. После того как по ускорениям каких-либо пробных частиц определены компоненты поля, их можно использовать для определения ускорений других пробных частиц (дополнение 3.1). Таким образом, выражение для силы Лоренца играет двоякую роль: 1) дает определение поля и 2) позволяет предсказать движение заряженных частиц.
Как неоднократно подчеркивал Анри Пуанкаре, в этой и других областях науки уже устарел принцип, утверждающий: «Прежде, чем излагать, дай определение используемым понятиям». Все физические законы и теории, в том числе и закон Лоренца, обладают тем глубоким и трудноуловимым свойством, что в них как дается определение используемых понятий (здесь В и Е), так и делаются утверждения о них. Напротив, отсутствие какой-то основной теории, закона или принципа лишает возможности дать исчерпывающее определение понятиям и даже их использовать.
Сила Лоренца
позволяет
как дать
определение
ноля, так и
предсказать
двнженне
I
HO 3. Электромагнитное поле
Трехмерная форма записи формулы Лоренца
Определение
тензора
электромагнитного поля
Геометрическая форма выражения для силы Лоренца
В некотором смысле любой шаг вперед в человеческом познании является поистине созиданием-, теория, концепция, закон и способ измерения — всегда неразделимые — появляются в неразрывном единстве.
Формула Лоренца, записанная в привычном трехмерном виде, где E — электрическое поле, В — магнитное поле, v — обычная скорость частицы, р — импульс частицы, а е — ее заряд, имеет вид
(dp/dt) = е (Е + V X В). (3.1>
Хотя такая форма записи и может оказаться исключительно полезной, тем не менее она далека от геометрической формы в духе Эйнштейна. Чисто геометрическое уравнение должно содержать 4-вектор энергии-импульса пробной частицы р, а не одну только пространственную его часть р, измеренную в некоторой лоренцевой системе: из него должна определяться скорость изменения импульса, измеренная не каким-то конкретным лоренцевым наблюдателем (dldt), а измеренная по единственным часам, которые присутствуют в задаче априори, — по собственным часам пробной частицы (didx). Таким образом, левая часть чисто геометрического уравнения должна иметь вид
dp/dx.
Правая часть — 4-сила Лоренца — также должна представлять собой объект, не зависящий от системы отсчета. Она должна быть линейной относительно 4-скорости частицы и, так как зависящее от системы отсчета выражение
= ¦. 1 ¦^- = —FJ=^(E + vXB) = e(u°E + uXB) (3.2а)
dx у 1_Г2 dt уi_r2 '
линейно относительно компонент и. Следовательно, должна существовать линейная машина F — «тензор электромагнитного поля»— с одним входным каналом для ввода 4-скорости пробной частицы. Произведение того, что получается на выходе этой машины, на заряд частицы должно представлять собой электромагнитную 4-силу, действующую на эту частицу:
dp/dx = е? (и). (3.3)
Сравнивая это геометрическое уравнение с первоначальным выражением для силы Лоренца (3.2а) и с соответствующим ему законом изменения энергии
4^-=-- 1 — =—г^= еП-v = еЕ.щ (3.26)
dx Yi-1>2 dt Yi—v2
можно найти компоненты F в некоторой определенной лоренцевой
системе. Компонентами dp/dx являются dpa/dx, а компоненты eF (и)
можно записать в виде eFapuP (определение i^p!). Следовательно,
выражение
dpa/dx = (3.4)
§ 3.1. Сила Лоренца и тензор электромагнитного поля Ц1
должно сводиться к выражениям (3.2а, б). И это действительно имеет место, если отождествить
I^a6II=
P = O P=I P= 2 [Р=3
о Il 8 0 Ex Ey Ez
Ct=I Ex 0 B1 -By
а = 2 Ey -вг 0 Bx
а = 3 Ег By -Bx 0
(3.5)
при этом
Oi -Es -Ey -Ez
Ex 0 Bt -By
Ey -B1 0 Bx
E1 By -Bx 0
I
Компоненты
тензора
электронагнитного
поля
В литературе чаще встречаются «ковариантные компоненты», получающиеся в результате опускания индекса с помощью компонент метрики:
^ар = л«т^э; (3.6)
(3.7)
Это матричное уравнение демонстрирует единство электрического и магнитного полей. Ни одно из них само по себе — ни Е, ни В — не является геометрическим объектом, не зависящим от системы отсчета. Ho слитые воедино в объекте F, они обретают смысл и значение, выходящие за рамки координат и систем отсчета.
