Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
cha О О sh a cha О О — sha
О 1 о О О 1 О О
О О 1 О . IIAMI = О О 1 О
sha О о cha — sha О О cha
4-вектор плотности заряда-тока р= pcha + ;'* sha, f = j*,
Jv = F,
f = р sh a + Jx ch а.
sin0 = cos 0 =
E
-Pz
1 —P cos 0 cos 0—P
-..„5 -Pl (1—P2)V* sin©
Sin О ' _ ¦ * I Q Л I
? 1 + 0 COS 6 *
E і — P cos 0 ’ tg (0/2) = са tg (0/2).
cos 6 = J =
cos 8+P
E I + P cos 0 * tg(0/2) = e-“tg (0/2).
*) Бустом называется преобразование системы отсчета, соответствующее конечному значению скорости.— Прим. перев.
§ 2.10. Столкновения 107 |
Два последовательных буста в одном направлении
Q Рі“ЬР2 і
или «=«‘+«2-
Произвольная последовательность бустов и поворотов
Спинорный формализм, гл. 41.
Преобразование Пуанкаре
х» = А\-ха' + а*.
Условие, накладываемое на лоренцеву часть этого преобразования: ds'2 = Ti06-P- dxa' dx^' == ds2= TluvAlia-AvP- dxa' dx^\
или A тіЛ = ті (матричное уравнение, где T означает «транспонирование», или перестановку строк и столбцов).
Действие преобразования на другие величины:
Utl = Atla-Ua' (4-скорость) ыа» = MllAtla-,
р* = Atla-Pa' (4-импульс) ра- = PllA11a
Ftiv = AtlatAvQ-Fa'^' (электромагнитное поле) Fa-$- = FiivAtta-AvQ',
во- = вдА^о- (базисные векторы),
©“ =A0^tlCDtl (базисные 1-формы), и = ва-иа' = вцМ^ = и (вектор 4-скорости).
§ 2.10. СТОЛКНОВЕНИЯ
Какой бы физический объект ни рассматривался — будь то отдельная движущаяся масса, поток жидкости, поле сил, геометрия самого пространства,— в классической общей теории относительности он описывается своим геометрическим объектом определенного типа. Построение каждого такого объекта либо непосредственно основано на понятии идентифицируемой точки, либо происходит путем абстрагирования от него; но в любом случае этот объект не нуждается в координатах для своего представления. Мы видели, как такое описание, не использующее координат, можно перевести на язык координат и компонент и наоборот; и как с помощью преобразований Лоренца преобразуются компоненты в локально лоренцевых системах отсчета. Перейдем теперь к двум простейшим приложениям этого математического аппарата, касающимся движущейся массы. Одно из них имеет дело с короткодействующими силами (столкновения, данный параграф), другое — с электромагнитными силами, действующими на значительном протяжении (формула для силы Лоренца, следующая глава).
I
Рассеяв не частиц
Сохранение энергнн-импульоа нри столкновении
108 2* Основы, специальной теории относительности
При столкновении все изменение импульса происходит за промежуток времени, малый по сравнению со временем наблюдения. Более того, мишень, как правило, настолько мала и настолько сильно проявляются квантовомеханические эффекты, что правильным является лишь вероятностное описание. Величина
<г<’-(ж)в'га <2-4»>
представляет собой сечение (см2) рассеяния в элемент телесного угла dQ при угле отклонения 0; более сложное выражение представляет вероятность того, что исходная частица влетает в элемент телесного угла dQ с данным полярным углом 0 и азимутом ф с энергией между E и E + dE и одновременно продукты реакции вылетают тоже в определенных интервалах энергии и в определенные телесные углы. Хотя это один из увлекательных разделов атомной физики, было бы неуместно заниматься здесь вычислением таких сечений. Достаточно отметить, что сечение — это площадка, ориентированная перпендикулярно траектории падающей частицы. Поэтому оно не изменяется при переходе в систему координат, движущуюся вдоль траектории, при условии, конечно, что соответствующим образом преобразуются энергии и углы разлета частиц («одни и те же события в разных системах отсчета»).
Однако, как следует из локального динамического рассмотрения, наряду с любым подробным описанием соударения такого рода, всегда выполняется закон сохранения энергии-импульса:
S Pj = S Pk* (2.47)
начальные конечные
частицы» J частицы, К
Уже из одного этого соотношения, не прибегая к более подробному анализу, можно получить следующие простые результаты:
1) фотон, распространяющийся в виде плоской волны в пустом пространстве, не может расщепиться (это несправедливо в случае фокусированного фотона!); 2) если электрон с большой энергией упруго сталкивается с покоящимся электроном, и после этого они разлетаются с одинаковыми энергиями, то угол между их направлениями разлета меньше ньютоновского значения 90°, и разность между ними служит простой мерой энергии первичного электрона; 3) выражение для доли кинетической энергии, которую электрон передает протону при центральном упругом соударении, имеет различный вид в трех предельных случаях, соответствующих нерелятивистской, релятивистской и ультрарелятивистской энергиям электрона; 4) порог рождения пары (е+, е~) фотоном в поле сил массивного ядра равен 2те; 5) порог рождения пары (е+, е~) фотоном при соударении с покоящимся электроном равен Ame (или Ame—е, если учесть энергию связи очень легкой «молекулы», которую могут образовать е +е~е~). Все эти результаты (темы для отдельных упражнений!) и целый ряд других можно получить из закона сохранения энергии-импульса. Подробнее об этом см. [57, 58], а также гл. 4 и последнюю часть гл. 5 в книге [59]
