Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 37

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 180 >> Следующая


dT/dx = dj = (df, u). (2.36)

В локально лоренцевой системе внутри Солнца это выражение можно записать в виде

_ „а дТ _ 1 дТ I у! дТ (9, %7\

d* дха Y 1-«2 dt іЛ-»2 дхі ' ' }

В чем смысл этого результата?

УПРАЖНЕНИЯ
I

104 2- Остви специальной теории относительности

Преобразования

Лоренца:

а) координат

б) базисных векторов

в) базисных 1-форм

г) компонент

§ 2.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Чтобы упростить вычисления, часто оперируют с компонентами векторов и 1-форм, а не на языке, свободном от координат. В такого рода выкладках иногда возникает необходимость в преобразованиях от одной лоренцевой системы отсчета к другой. Читатель уже знаком с такими преобразованиями Лоренца, но краткая сводка в дополнении 2.4 поможет ему освежить их в памяти и познакомит его с обозначениями, используемыми в этой книге.

Ключевыми объектами в преобразовании Лоренца являются матрицы ||A“'p Il и Il Apa-1| ; первая из них преобразует координаты нештрихованной системы в координаты штрихованной, а вторая — наоборот:

= A0VP, х* = Apa-^a'. (2.38)

Поскольку они совершают одно и то же преобразование, но в раз-

ных направлениях, они должны быть обратны одна другой:

Л“'рЛр?- = 8“'?., Apk'A“'v = 8pv. (2.39)

Исходя из того, что 4-скорость и = (dxa/di)ea по своей природе

не зависит от координат, легко получаем выражения

Ba- = врЛра», Єр = ea'A“ р (2.40)

для базисных векторов одной системы через базисные векторы другой; из других геометрических соотношений, таких, как

V = OaVa = вр-і>Р', (о, v> = cr„i;“ = Op<i;P', O = OaCOa = Op-COP',

получаем следующие законы преобразования:

ю“'= А“рсоР, соР = Ара-са“'; (2.41)

Vа' = A“’pi>P, уР = Лра-уа'; (2.42)

Oa- = OpApa-, Op = Oa-Aa р. (2.43)

В этих законах преобразования не нужно запоминать расположение индексов. Необходимо лишь расположить их так, чтобы 1) свободные индексы по обе стороны знака равенства занимали одинаковые позиции, а 2) индексы, по которым производится суммирование, встречались один раз вверху и один раз внизу. Тогда все будет правильно! (Примечание: индексы у A всегда расположены «с северо-запада на юго-восток».)
§ 2.9. Преобразования Лоренца 105

I

2.7. Буст в произвольном направлении

Матричные компоненты наиболее употребительного из преобразований Лоренца имеют вид

УПРАЖНЕНИЕ

A0 = V = T

A0^ = Ay0=-PV,

(2.44)

|/1—P2 ’

Aj'ft = Aft', = (V-I) пЫк + 6*,

A1V = (компоненты Avll, у которых P заменено на —Р), где Р, и1, п2, и3 —параметры, причем п2 = (и1)2 + (и2)2 + (и3)2 = 1. Покажите, что а) эти матрицы удовлетворяют условию ATriA = Tj, накладываемому на преобразование Лоренца (см. дополнение 2.4);

б) для наблюдателя из нештрихованной системы штрихованная система движется с обычной скоростью Pn; в) для наблюдателя из штрихованной системы нештрихованная движется с обычной скоростью -Pn (т. е. Vі' -¦ — Ри1, у2' = — Pn2, у3' = — р«3); г) при движении в направлении оси z матрицы преобразования приобретают знакомый вид

Av^ll =

У 0 0 -Pv V 0 0 Pv
0 1 0 0 , IIAMl = 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
-Pv 0 0 V Pv 0 0 V

(2.45)

Дополвевие 2.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Поворот системы отсчета на угол 6 в плоскости х — у 1J

Наклон s = tg 0, sin 0 = t = t,

X=X cos 0— у sin 0, у —¦ X sin 0 4- у С OS 0,

Z = Z. I

(1+*2)1/2 ’ г

COS 0 =

(1 -м2)1/2

S -

t = t,

X = X COS 0 + у sin 0, у = — х sin 0 -|- у cos 0,

Z = Z.

Все знаки вытекают из знака этого члена. Он положителен, как легко установить из положения точки Hi.

1J В литературе иногда различают понятия системы координат и системы отсчета [см., например, Зельманов A. JI., ДАН СССР, 107, 815 (1956)]. Под системой отсчета понимают совокупность всех, координат, неподвижных друг относительно друга. С этой точки зрения «поворот декартовой системы координат в плоскости х — у» не есть переход к другой системе отсчета или реальный поворот системы отсчета со временем в пространстве. Действительно, система остается неизменной с течением времени, на ней «рисуются» две системы координат: х, у, z и х, у, z. В данной книге авторы не делают различия между понятиями системы отсчета и системы координат.— Прим. ред.
I

106 ?• Основи специальной теории относительности

Два последовательных поворота

*=т=йг ’ или о=0‘+02*

Запуск движущейся системы отсчета («буст») 1) с параметром скорости а в плоскости а — t

P

Скорость P = th a, sh а =

(I-PE)V2 »

Clia =

(I-P2)V2

tg 0 = CEtopocTb p = tha. t = t ch a + z sh а, х = х,

У =J/)

z = t sha + zcha.


Г
\

t = t ch а — z sh а,

X=X

У = У,

Z —

Z= —f sha-j-zcha.

T *. *

Все знаки вытекают из знака этого члена. Он положителен, так как объект, покоящийся при Z = Ob системе, связанной с ракетой, в лабораторной системе движется в направлении увеличения z.

Матричные обозначения: хР = Aii-Xv, Xv = AvwXtl,

AMl =

4-вектор энергии-импульса E — E ch а -\-рг sh а,

Px = Pi,

Pv = P^

рг = E sha + p^cha.

Аберрация света, фотон приходит к наблюдателю: — Pl (1 — p2)1/2sin§‘*
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed